Question

2．若x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-2y+1≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$求z=3x+y的最大值；
變：
（1）求z₁=3x-y的最小值；
（2）求u=$\frac{y+1}{x+1}$的最小值；
（3）求t=$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+1）^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，分別利用直線截距，直線的斜率，以及兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=3x+y得y=-3x+z，平移直線y=-3x+z（紅線）由圖象可知當(dāng)直線y=-3x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，1）時(shí)y=-3x+z的截距最大，此時(shí)z最大．
代入z=3x+y得z=3+1=4．
即目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為4．
（1）由z₁=3x-y得y=3x-z₁，平移直線y=3x-z₁，（藍(lán)線）由圖象可知當(dāng)直線y=3x-z₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）時(shí)y=3x-z₁的截距最大，此時(shí)z₁最小．代入z₁=3x-y得z₁=-3-1=-4．
（2）u=$\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D（-1，-1）的斜率，
由圖象知BD的斜率最小，此時(shí)u=$\frac{1+1}{1+1}=1$，無(wú)最大值．
（3）t=$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+1）^{2}}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D（-1，-1），
由圖象知AD的距離最小，此時(shí)t=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義結(jié)合數(shù)形結(jié)合，分別利用直線截距，直線的斜率，以及兩點(diǎn)間的距離公式是解決本題的關(guān)鍵．