Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c有兩個(gè)零點(diǎn)0和-2
（1）求函數(shù)f（x）的解析式
（2）若f（x+1）≥2f（x）-6，求x的取值范圍
（3）如果f（x）定義在[m，m+2]的最大值為φ（m），求φ（m）的解析式．

Answer 1

分析 （1）直接將x=0，x=-2代入f（x）=（x-x₁）（x-x₂），求出函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式得到不等式（x+1）²+2（x+1）≥2x²+4x-6，解出即可；
（3）先求出函數(shù)的對(duì)稱軸，通過討論m的范圍，從而確定出Φ（m）的解析式即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+bx+c有兩個(gè)零點(diǎn)0和-2，
∴f（x）=x（x+2）=x²+2x，
（2）若f（x+1）≥2f（x）-6，：
∴（x+1）²+2（x+1）≥2x²+4x-6
得：x²-9≤0，解得：-3≤x≤3；
（3）f（x）=（x+1）²-1，
開口向上，對(duì)稱軸為x=-1，
所以最大值必在端點(diǎn)處取得．
只需比較f（m），與f（m+2）的大小即可
f（m+2）-f（m）=m²+4m+4+2m+4-（m²+2m）=4m+8，
當(dāng)m≥-2時(shí)，Φ（m）=f（m+2）=m²+6m+8，
當(dāng)m＜-2時(shí)：Φ（m）=f（m）=m²+2m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．