Question

某校高二年級共有學(xué)生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現(xiàn)從該年級采用分層抽樣的方法從該年級抽取n名學(xué)生進行問卷調(diào)查，根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上有效學(xué)習(xí)時間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組：[0，30），[30，60），[60，90），[90，120），[120，150），[150，180），[180，210），[210.240），得到頻率分布直方圖如圖，已知抽取的學(xué)生中每天晚上有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘的人數(shù)為5人．
（1）求n的值并求有效學(xué)習(xí)時間在[90，120）內(nèi)的頻率；
（2）如果把“學(xué)生晚上有效時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的n名學(xué)生，下列2×2列聯(lián)表，問：是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？

	利用時間充分	利用時間不充分	合計
走讀生	50	a	________
住校生	b	15	________
合計	________	40	n

（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望．
參考公式：
參考列表：

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

Answer 1

解：（1）設(shè)第i組的頻率為P_i（i=1，2，…，8），
則由圖可知：P₁=×30=，P₂=×30=，
∴學(xué)習(xí)時間少于60鐘的頻率為：P₁+P₂=，
由題n×=5，∴n=100，…（2分）
又P₃=×30=，P₅=×30=，
P₆=×30=，P₇=×30=，
P₈=×30=，
∴P₄=1-（P₁+P₂+P₃+P₅+P₆+P₇+P₈）
∴
∴有效學(xué)習(xí)時間在[90，120）內(nèi)的頻率為．（4分）
（2）抽取的100人中，走讀生有750×=75人，住讀生25人，∴a=25，b=10（6分）
由于K²=＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)．（8分）
（3）由題意知：第①組1人，第②組4人，第⑦組10人，第⑧組5人，共20人
∴P（X=i）=，（i=0，1，2，3），
∴P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，（10分）
∴X的分布列為：

P	0	1	2	3
X

EX=0×+1×+2×+3×=．
分析：（1）設(shè)第i組的頻率為P_i（i=1，2，…，8），則由圖可知：學(xué)習(xí)時間少于60鐘的頻率為：P₁+P₂=，由此能夠求出n的值并求出有效學(xué)習(xí)時間在[90，120）內(nèi)的頻率．
（2）求出K²，比較K²與3.841的大小，能夠判斷是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)．
（3）由題設(shè)條X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出其概率，能夠得到X的分布列和期望．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時要認(rèn)真審題，仔細解答，注意排列組合和概率知識的靈活運用．