Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=2-a_n，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=1+2log 

1

2

a_n，數(shù)列{

1

bn•bn+1

}的前n項(xiàng)和為T_n．求證：T_n＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出{a_n}是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）bn=1+2log

1

2

bn=1+2log

1

2

(

1

2

)n-1=2n-1，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明T_n＜

1

2

．

解答： （本小題滿分（13分），（Ⅰ）小問（6分），（Ⅱ）小問7分）
（Ⅰ）解：a₁=S₁=1，n≥2時(shí)，S_n=2-a_n，S_n-1=2-a_n-1，
∴an=-an+an-1⇒an=

1

2

an-1 (n≥2且n∈N^*），
∵a₁=1，∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴an=(

1

2

)n-1．…（6分）
（Ⅱ）證明：bn=1+2log

1

2

bn=1+2log

1

2

(

1

2

)n-1=2n-1…（8分）
令cn=

1

bn•bn+1

=

1

(2n-1)•(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，…（10分）
則Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．