Question

設數(shù)列{a_2n-1}是首項為1的等差數(shù)列，數(shù)列{a_2n}是首項為2的等比數(shù)列，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N^*），已知S₃=a₄，a₃+a₅=a₄+2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）比較S_2n與2ⁿ+n²的大小，并說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，由已知條件得

4+d=2q (1+d)+(1+2d)=2+2q

，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）當n=1時，S_2n=2ⁿ+n²．當n≥2時，S2n=

(1+2n-1)n

2

+

2(1-3n)

1-3

＞2ⁿ+n²．

解答： 解：（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，
則a₁=1，a₂=2，a₃=1+d，a₄=2q，a₅=1+2d，
∵S₃=a₄，a₃+a₅=a₄+2．
∴

4+d=2q (1+d)+(1+2d)=2+2q

，
解得d=2，q=3，
∴an=

n，n=2k-1 2•3 n 2 -1，n=2k

．
（Ⅱ）當n=1時，S_2n=2ⁿ+n²．
當n≥2時，
S2n=

(1+2n-1)n

2

+

2(1-3n)

1-3

=n²-1+3ⁿ=n²-1+（1+2）ⁿ＞n²-1+2ⁿ+1＞2ⁿ+n²．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查S_2n與2ⁿ+n²的大小的比較，解題時要認真審題，注意放縮法的合理運用．