Question

（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，,四邊形是菱形，且交于點(diǎn)，是上任意一點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）已知二面角的余弦值為，若為的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）線線垂直問題轉(zhuǎn)化為線面問題即可解決，即，由平面，得，又分析可知，且，所以 （2）解法1：（空間向量在立體幾何中的應(yīng)用）設(shè)與平面所成的角為，即與平面所成角為與平面的法向量所成角，如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)則，，

平面的一個(gè)法向量為（1,0,0），，得到

再由二面角的余弦值為，，解得，

故，，最后求得；

解法2：通過構(gòu)造法作出二面角的平面角,

設(shè)DP=t， 作出二面角的平面角,

由，求出點(diǎn)到平面的距離

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071106013211521463/SYS201507110601354434478012_DA/SYS201507110601354434478012_DA.004.png">平面，所以， 1分

因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071106013211521463/SYS201507110601354434478012_DA/SYS201507110601354434478012_DA.035.png">為菱形，所以 2分

又

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071106013211521463/SYS201507110601354434478012_DA/SYS201507110601354434478012_DA.036.png"> 5分

（2）解法1:

連接在中，

所以分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)則，． 6分

由（1）知，平面的一個(gè)法向量為（1,0,0）， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則得，令，得 8分

因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071106013211521463/SYS201507110601354434478012_DA/SYS201507110601354434478012_DA.022.png">的余弦值為，所以，

解得或（舍去），所以 10分

設(shè)與平面所成的角為．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071106013211521463/SYS201507110601354434478012_DA/SYS201507110601354434478012_DA.025.png">，，

∴

所以與平面所成角的正弦值為． 12分

解法2:

設(shè)DP=t， 作出二面角的平面角

由，求出點(diǎn)到平面的距離

．

考點(diǎn)：1、線面垂直和線線垂直的互化；2、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用；3、空間想象能力和綜合分析能力．