Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax-2
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]的最小值；
（2）若a∈R討論函數(shù)f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)于任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，都有x₂[f（x₁）+a]＜x₁[f（x₂）+a]成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求f（x），f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]的單調(diào)性，從而求出f（x）的最小值．
（2）先求f′（x），討論a，判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，從而得出函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．
（3）將不等式變形為：

&

;f(x1)+ax1＜

f(x2)+a

x2

，所以令g（x）=

f(x)+a

x

，從而得到g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以g′（x）＞0，所以；xe^x-e^x+2-a＞0xe^x-e^x+2-a＞0，為了求a的范圍，所以需要求；xe^x-e^xxe^x-e^x的范圍，可通過求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)單調(diào)性來求它的范圍，求得范圍是；xe^x-e^x＞-1xe^x-e^x＞-1，所以2-a≥1，所以求得a的范圍是（-∞，1]．

解答： 解：（1）f（x）=e^x-x-2，f′（x）=e^x-1；
∴-1≤x＜0時(shí)，f′（x）＜0；0＜x≤1時(shí)，f′（x）＞0；
∴x=0時(shí)f（x）取最小值f（0）=-1．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]的最小值是-1．
（2）f′（x）=e^x+a；
∴①當(dāng)a≥-1時(shí)，∵x＞0，∴e^x＞1，∴e^x+a＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＜-1時(shí)，0＜x＜ln（-a）時(shí)，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，ln（-a））上單調(diào)遞減；
x＞ln（-a）時(shí)，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在[ln（-a），+∞）上單調(diào)遞增．
（3）由已知條件得：

&

;f(x1)+ax1＜

f(x2)+a

x2

；
令g（x）=

f(x)+

&

;ax=

ex+ax-2+a

x

，則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
∴f′（x）=

xex-ex+2-a

x2

≥0；
∴xe^x-e^x+2-a≥0；
令h（x）=xe^x-e^x，∴h′（x）=xe^x＞0；
∴h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
∴h（x）＞h（0）=-1；
∴2-a≥1；
∴a≤1．
∴a的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最小值，而第三問由原不等式得到：

&

;f(x1)+ax1＜

f(x2)+a

x2

是求解本問的關(guān)鍵．