Question

設(shè)m＞3，對于項數(shù)為m的有窮數(shù)列{a_n}，令b_k為a₁，a₂，…，a_k（k≤m）中最大值，稱數(shù)列{b_n}為{a_n}的“創(chuàng)新數(shù)列”．例如數(shù)列3，5，4，7的創(chuàng)新數(shù)列為3，5，5，7．考查正整數(shù)1，2，…，m（m＞3）的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數(shù)列{c_n}，則創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列的{c_n}的個數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：分類討論：當(dāng)d=0時，{e_m}為常數(shù)列，滿足條件；數(shù)列{c_n}是首項為m的任意一個排列，共有

A

m-1 m-1

個數(shù)列．當(dāng)d=1時，符合條件的數(shù)列{e_m}只能是1，2，3…m，此時數(shù)列{c_n}是1，2，3…m，有1個．d≥2時，{e_m} 不存在．由此得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)數(shù)列{c_n}的創(chuàng)新數(shù)列為{e_m}，因?yàn)閑_m為前m個自然數(shù)中最大的一個，所以e_m=m．
若 {e_m}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
因?yàn)?e_k+1≥e_k （k=1，2，3…m-1），所以 d≥0．且d∈N^*．
當(dāng)d=0時，{e_m}為常數(shù)列，滿足條件，即為數(shù)列 e_m=m，
此時數(shù)列{c_n}是首項為m的任意一個排列，共有

A

m-1 m-1

個數(shù)列；
當(dāng)d=1時，符合條件的數(shù)列{e_m}只能是1，2，3…m，此時數(shù)列{c_n}是1，2，3…m，有1個；
當(dāng)d≥2時，∵e_m=e₁+（m-1）d≥e₁+2（m-1）=e₁+m+m-2 又 m＞3，∴m-2＞0．
∴e_m＞m 這與 e_m=m矛盾，所以此時{e_m} 不存在．
綜上滿足條件的數(shù)列{c_n}的個數(shù)為（m-1）!+1個．
故答案為：（m-1）!+1．

點(diǎn)評：本題主要考查等差關(guān)系的確定，等比關(guān)系的確定，創(chuàng)新數(shù)列的定義，屬于中檔題．