Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線L：mx-y+1-m=0．
①求證：對(duì)m∈R，直線L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
②求直線L中，截圓所得的弦最長(zhǎng)及最短時(shí)的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：①將直線l的方程變形提出m，根據(jù)直線方程的斜截式，求出直線恒過(guò)點(diǎn)（1，1），即可證明結(jié)論；
②直線l截圓所得的弦最長(zhǎng)時(shí)，一定過(guò)圓心；當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí)，AC和直線L垂直，即可求得L的直線方程．

解答： ①證明：∵直線L：mx-y+1-m=0即為y=m（x-1）+1，
∴直線l恒過(guò)（1，1），
∵1²+（1-1）²=1＜5，
∴A（1，1）在圓C：x²+（y-1）²=5的內(nèi)部，
∴對(duì)m∈R，直線L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
②解：被圓截得的弦最長(zhǎng)的直線一定過(guò)圓心，方程為y=1，
它的圓心為C（0，1），由弦長(zhǎng)最短，可得AC和直線L垂直，
故直線l的方程為x=1．

點(diǎn)評(píng)：判斷直線與圓的位置關(guān)系，一般利用圓心與直線的距離與半徑的大小關(guān)系加以判斷，有時(shí)也可轉(zhuǎn)化為直線恒過(guò)的點(diǎn)來(lái)判斷．