Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，且SA=2，AD=DC=1，點(diǎn)E在SD上，且AE⊥SD．
（1）證明：AE⊥平面SDC；
（2）求三棱錐B-ECD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明AE⊥平面SDC，只需證明AE⊥CD，利用證明CD⊥側(cè)面SAD可得；
（2）證明CD⊥平面ASD，AB∥平面SCD，可得點(diǎn)B到平面SCD的距離等于點(diǎn)A到平面SCD的距離AE，即可求三棱錐B-ECD的體積．

解答： （1）證明：∵側(cè)棱SA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴SA⊥CD．…．（1分）
∵底面ABCD直角梯形，AD垂直于AB和DC，
∴AD⊥CD，
又AD∩SA=A，
∴CD⊥側(cè)面SAD，…．（3分）
∵AE?側(cè)面SAD
∴AE⊥CD，
∵AE⊥SD，CD∩SD=D，
∴AE⊥平面SDC…．（5分）
（Ⅱ）解：∵CD⊥AD，CD⊥AE，AD∩AE=A，
∴CD⊥平面ASD，
∴CD⊥SD，
∴S_△EDC=

1

2

ED•DC …（7分）
在Rt△ASD中，SA=2，AD=1，AE⊥SD，
∴ED=

1

5

，AE=

2

5

∴S_△EDC=1，…（9分）
又∵AB∥CD，CD?平面SCD，AB?平面SCD，
∴AB∥平面SCD，
∴點(diǎn)B到平面SCD的距離等于點(diǎn)A到平面SCD的距離AE                 …（11分）
∴V_B-ECD=

1

3

•S_△EDC•AE=

2 5

15

                                …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判斷與性質(zhì)，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．