Question

如圖，已知在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且AA₁⊥面ABCD，∠DAB=60°，AD=AA₁=1，F(xiàn)為棱AA₁的中點(diǎn)，M為線段BD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：平面D₁FB⊥平面BDD₁B₁；
（2）求三棱錐D₁-BDF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由底面是菱形，證明AC⊥面BDD₁B₁，再證MF⊥面BDD₁B₁，即證平面D₁FB⊥平面BDD₁B₁；
（2）過點(diǎn)B作BH⊥AD于H，可證出BH⊥平面ADD₁A₁，從而BH是三棱錐B-DD₁F的高，求出△DD₁F的面積，計(jì)算出三棱錐D₁-BDF的體積．

解答： 解：（1）證明：∵底面是菱形，
∴AC⊥BD；
又∵B₁B⊥面ABCD，AC?面ABCD
∴AC⊥B₁B，BD∩B₁B=B，
∴AC⊥面BDD₁B₁
又∵M(jìn)F∥AC，
∴MF⊥面BDD₁B₁；
又∵M(jìn)F?平面D₁FB，
∴平面D₁FB⊥平面BDD₁B₁；
（2）如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AD，垂足為H，
∵AA₁⊥平面ABCD，BH⊆平面ABCD，
∴BH⊥AA₁，
∵AD、AA₁是平面ADD₁A₁內(nèi)的相交直線，
∴BH⊥平面ADD₁A₁，
在Rt△ABH中，∠DAB=60°，AB=AD=1，
∴BH=ABsin60°=

3

2

，
∴三棱錐D₁-BDF的體積為
V=V三棱錐B-D1DF=

1

3

×S_△DD1F•BH=

1

3

×

1

2

×1×1×

3

2

=

3

12

．

點(diǎn)評：點(diǎn)評：本題考查了空間中的垂直關(guān)系的證明問題與求錐體的條件問題，解題時應(yīng)借助于幾何圖形進(jìn)行解答，是易錯題．