Question

已知函數(shù)g（x）=

2

x

+lnx，f（x）=mx-

m-2

x

-lnx，m∈R．
（1）求函數(shù)g（x）的極值點；
（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（3）設h（x）=

2e

x

，若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值和導數(shù)的關系，即可求函數(shù)g（x）的極值點；
（2）求函數(shù)f（x）-g（x）的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關系即可求m的取值范圍；
（3）構造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）-h（x），將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值即可得到結論．

解答： 解：（1）∵g′（x）=-

2

x2

+

1

x

=

x-2

x2

．
∴由g′（x）=0得x=2，
當x＞2時，g′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當x＜2時，g′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
即x=2是函數(shù)g（x）的極小值點．
（2）由（1），得f（x）-g（x）=mx-

m

x

-2lnx，
∴[f（x）-g（x）]′=

mx2-2x+m

x2

，
∵f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，
∴mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立，
∵mx²-2x+m≥0等價于m（1+x²）≥2x，即m≥

2x

1+x2

，
而

2x

1+x2

=

2

x+ 1 x

≤

2

2 x• 1 x

=1，故m≥1．
∵mx²-2x+m≤0等價于m（1+x²）≤2x，即m≤

2x

1+x2

，
而

2x

1+x2

∈（0，1]，m≤0．
綜上，m的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（3）構造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）-h（x）=mx-

m

x

-2lnx-

2e

x

，
當m≤0時，x∈[1，e]，mx-

m

x

≤0，-2lnx-

2e

x

＜0，所以在[1，e]上不存在一個x₀，
使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立．
當m＞0時，F(xiàn)′（x）=m+

m

x2

-

2

x

+

2e

x2

=

mx2-2x+m+2e

x2

，
因為x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx²+m＞0，所以F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）_max=me-

m

e

-4，只要me-

m

e

-4＞0，
解得m＞

4e

e2-1

，
故m的取值范圍是（

4e

e2-1

，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性，極值，與導數(shù)之間的關系，考查學生的計算能力．