Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=

2

，AB=AC=AA₁=1，D是棱CC₁上的一點(diǎn)，P是AD的延長線與A₁C₁的延長線的交點(diǎn)，且PB₁∥平面BDA₁．
（Ⅰ）求證：CD=C₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-B₁D-P的平面角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接B₁A交BA₁于O，由已知條件推導(dǎo)出△ACD≌△PC₁D，由此能夠證明CD=C₁D；
（Ⅱ）以A₁為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A₁B₁，A₁C₁A₁A所在直線建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠求出二面角A₁-B₁D-P的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連接B₁A交BA₁于O，
∵PB₁∥平面BDA₁，B₁P?面AB₁P，面AB₁P∩面BA₁D=OD，…（2分）
∴B₁P∥OD，又O為B₁A的中點(diǎn)，
∴D為AP中點(diǎn)，∴C₁為A₁P中點(diǎn)，…（3分）
∴△ACD≌△PC₁D，∴CD=C₁D．…（4分）
（Ⅱ）解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=

2

，AB=AC=1，
∴AB⊥AC，…（5分）
以A₁為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A₁B₁，A₁C₁A₁A所在直線建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．
由（Ⅰ）知C₁為A₁P中點(diǎn)，
∴A₁（0，0，0），B₁（1，0，0），D(0，1，

1

2

)，P（0，2，0），…（6分）
∴

A1B1

=(1，0，0)，

A1D

=（0，1，

1

2

），
設(shè)平面A₁B₁D的法向量

m

=(x，y，z)
∵

m

⊥

A1B1

且

m

⊥

A1D

，
∴

x=0 y+ 1 2 z=0

，取z=2，得y=-1，∴

m

=(0，-1，2)…（8分）

PB1

=(1，-2，0)，

PD

=(0，-1，

1

2

)，
設(shè)平面PB₁D的法向量

n

=(x1，y1，z1)，
則

n

•

PB1

=0，

n

•

PD

=0，
∴

x2-2y2=0 -y2+ 1 2 z2=0

，取x=2，得y=1，2，
∴平面PB₁D的法向量

n

=(2，1，2)…（10分）
設(shè)二面角A₁-B₁D-P平面角為θ，
則cosθ=

m • n

| m || n |

=-

5

5

，…（11分）
∴sinθ=

1-cos2θ

=

2 5

5

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查線段相等的證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．