Question

已知函數(shù)f（x）=x²+4x+5，若二次函數(shù)y=g（x）滿足：①y=f（x）與y=g（x）的圖象在點(diǎn)P（1，10）處有公共切線；②y=f（x）+g（x）是R上的單調(diào)函數(shù)．則g（x）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)f（x）求出在點(diǎn)P（1，10）的切線，再由y=f（x）+g（x）是R上的單調(diào)函數(shù)設(shè)g（x）=-x²+bx+c，再根據(jù)兩個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)求導(dǎo)有f′（1）=g′（1）．再由點(diǎn)在y=g（x）上求得c．

解答： 解：由f（x）=x²+4x+5，得到f′（x）=2x+4，
∴f′（1）=6，
設(shè)g（x）=-x²+bx+c，則有g(shù)′（x）=2ax+b，則有g(shù)′（1）=-2+b=6，即b=8．
又點(diǎn)P（1，10）也在y=g（x）上，有-1²+8×1+c=10，∴c=3．
∴g（x）=-x²+8x+3
故答案為：-x²+8x+3

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)解析式，還考查了導(dǎo)數(shù)求切線的知識(shí)點(diǎn)．