Question

12．已知等比數(shù){a_n}的前n項(xiàng)和S_n，a₁=1，S₆=9S₃．
（Ⅰ）{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù){b_n}滿(mǎn)足a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）×2ⁿ+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （I）由于S₆=9S₃，可得q≠1，于是$\frac{{q}^{6}-1}{q-1}$=$\frac{9（{q}^{3}-1）}{q-1}$，化簡(jiǎn)解得q即可得出．
（II）a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）×2ⁿ+1，可得當(dāng)n=1時(shí)，b₁=1；利用遞推關(guān)系即可得出a_nb_n=n•2^n-1，即可得出．

解答 解：（I）∵S₆=9S₃，∴q≠1，
∴$\frac{{q}^{6}-1}{q-1}$=$\frac{9（{q}^{3}-1）}{q-1}$，
化為q³+1=9，解得q=2．
∴a_n=2^n-1．
（II）∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）×2ⁿ+1，
∴當(dāng)n=1時(shí)，b₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（n-2）×2^n-1+1，
∴a_nb_n=n•2^n-1，又a_n=2^n-1，
∴b_n=n，n=1時(shí)也成立．
∴b_n=n．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推公式、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．