Question

給出下列四個(gè)命題：
①命題“若α=

π

4

，則tanα=1”的否命題是“若α≠

π

4

，則tanα≠1”；
②命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax²+bx+c=0有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”．用反證法證明則假設(shè)是：“假設(shè)a，b，c中至多有兩個(gè)是偶數(shù)”；
③已知A（1，0），B（-1，0），點(diǎn)C是圓x²+y²-6x-8y+21=0上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC面積最大值是4；
④若函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²+ax+10在區(qū)間[-1，4]上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-8]∪[-3，+∞）．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,直線與圓,簡(jiǎn)易邏輯

分析：①利用命題與其否命題的關(guān)系可判斷①與②的正誤；
③作出圖形，可求得△ABC面積最大值，從而可知③的正誤；
④利用導(dǎo)數(shù)法及二次函數(shù)的性質(zhì)，解不等式

f′(-1)≥0 f′(4)≥0

或

f′(-1)≤0 f′(4)≤0

，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍，從而可知④的正誤．

解答： 解：①命題“若α=

π

4

，則tanα=1”的否命題是“若α≠

π

4

，則tanα≠1”，正確；
②命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax²+bx+c=0有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”．用反證法證明則假設(shè)是：“假設(shè)a，b，c中沒(méi)有一個(gè)是偶數(shù)”，故②錯(cuò)誤；
③已知A（1，0），B（-1，0），點(diǎn)C是圓x²+y²-6x-8y+21=0，即（x-3）²+（y-4）²=4上的動(dòng)點(diǎn)，

由圖可知，當(dāng)PC⊥x軸，且點(diǎn)C為直線PC與該圓上部的交點(diǎn)時(shí)，△ABC面積S最大，且S_max=

1

2

×2×（4+2）=6，故③錯(cuò)誤；
④∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²+ax+10在區(qū)間[-1，4]上是單調(diào)函數(shù)，f′（x）=x²-2x+a，
∴

f′(-1)≥0 f′(4)≥0

或

f′(-1)≤0 f′(4)≤0

，即

3+a≥0 16-8+a≥0

或

3+a≤0 16-8+a≤0

，
解得：a≥-3或a≤-8，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-8]∪[-3，+∞），故④正確；
綜上所述，正確命題的序號(hào)是①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查四種命題的關(guān)系，考查函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)與圓的方程的應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于難題．