Question

4．已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）．
（1）若f（3a+4）≥f（5a），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，設(shè)g（x）=f（x）-3^x+4，判斷g（x）在（1，2）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明：對任意λ＞0，都存在μ＞0，使得g（x）＜0在x∈（λμ，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)當(dāng)0＜a＜1和a＞1兩種情況，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）=f（x）-3^x+4=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x-{3}^{x}+4$，函數(shù)g（x）在（1，2）單調(diào)遞減，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），f（3a+4）≥f（5a），
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{3a+4≤5a}\\{3a+4＞0}\\{5a＞0}\end{array}\right.$，無解；
當(dāng)a＞1時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{3a+4≥5a}\\{3a+4＞0}\\{5a＞0}\end{array}\right.$，解得1＜a≤2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2]．
（2）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）=f（x）-3^x+4=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x-{3}^{x}+4$，
函數(shù)g（x）在（1，2）單調(diào)遞減，
g（1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}1-3+4=1＞0$，
g（2）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}2-{3}^{2}+4$=-6＜0，
∴g（x）=f（x）-3^x+4，在（1，2）上只有1個(gè)零點(diǎn)．
∵g（x）＜0對（2，+∞）恒成立，
∴對任意λ＞0，都存在μ=$\frac{2}{λ}$＞0，使得g（x）＜0在x∈（λμ，+∞）上恒成立．

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷與證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．