Question

（1）已知圓C與直線x-6y-10=0相切于點(diǎn)（4，-1），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（9，6），求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求圓心在直線3x-y=0上，與x軸相切，且被直線x-y=0截得的弦長(zhǎng)為2

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的圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，因?yàn)椋?，-1）和（9，6）在圓上，所以利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出兩點(diǎn)到設(shè)出圓心的距離，并讓其相等列出關(guān)于a與b的方程，記作①，然后根據(jù)圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的直徑，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，由已知直線的斜率求出直徑所在直線的斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和求出的斜率寫出直徑所在直線的方程，把圓心坐標(biāo)代入又得到關(guān)于a與b的方程，記作②，聯(lián)立①②，即可求出a與b的值得到圓心坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心到（9，6之間的距離即為圓的半徑，根據(jù)圓心坐標(biāo)和圓的半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
（2）設(shè)圓心（t，3t），由題意可得半徑r=3|t|，求出圓心到直線的距離d，再利用垂徑定理，解得t的值，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，由此求出圓的方程．

解答： 解：（1）、設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，b），因?yàn)辄c(diǎn)（4，-1），點(diǎn)（9，6）都是圓上的點(diǎn)，
所以圓心與這兩個(gè)點(diǎn)的距離相等，即（a-9）²+（b-6）²=（a-4）²+（b+1）²，
化簡(jiǎn)得：50-5a=7b①，
又因?yàn)閳A與直線x-6y-10=0切于（4，-1），所以直徑所在直線的斜率為-6，
所以經(jīng)過(guò)（4，-1）的圓直徑所在直線的方程為y+1=-6（x-4），
由于圓心在此直線方程上，代入得：b+1=-6（a-4）②，
聯(lián)立①②，解得a=3，b=5，即圓心坐標(biāo)為（3，5），
則圓的半徑r=

(3-9)2+(5-6)2

=

37

，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-3）²+（y-5）²=37．
（2）、設(shè)圓心（t，3t），則由圓與x軸相切，可得半徑r=3|t|．
∵圓心到直線的距離d=

|t-3t|

2

=

2

t，
∴由r²=d²+（

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）²，解得t=±1．
∴圓心為（1，3）或（-1，-3），半徑等于3．
∴圓C的方程為 （x+1）²+（y+3）²=9 或 （x-1）²+（y-3）²=9．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握切線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值，掌握兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，會(huì)根據(jù)圓心與半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道綜合題．