Question

已知函數(shù)f（x）=

ex

ex

，g（x）=mx-lnx-tm．
（1）求函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）上的值域；
（2）若m∈[

e

，e²]，對?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₁）≤g（x₂）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導數(shù)，列出表格，由導數(shù)符號可求函數(shù)的最大值；
（2）問題等價于f（x）_max≤g（x）_min，由（1）知f（x）_max=1，利用導數(shù)可求得g（x）_min=1+lnm-tm，則只需1+lnm-tm≥1⇒t≤

lnm

m

在m∈[

e

，e2]上恒成立，再化為函數(shù)最值即可，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)可求得最值；

解答： 解：（1）f′(x)=

e•ex-ex•ex

(ex)2

=

e(1-x)

ex

，
令f'（x）=0，得x=1，當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	x∈（0，1）	x=1	x∈（1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	極大	↓

f（x）_max=f（x）_極大=f（1）=1，
又f（x）＞0，∴函數(shù)f（x）的值域為（0，1]．
（2）依題意f（x）_max≤g（x）_min，
而f（x）_max=1，g′(x)=m-

1

x

=

mx-1

x

，由于m∈[

e

，e2]，
故當g'（x）=0時，x=

1

m

，

x	x∈(0， 1 m )	x= 1 m	x∈( 1 m ，+∞)
g'（x）	-	0	+
g（x）	↓	極小	↑

∴g（x）_min=g（x）_極小=g（

1

m

）=1-ln

1

m

-tm=1+lnm-tm，
∴1+lnm-tm≥1⇒t≤

lnm

m

在m∈[

e

，e2]上恒成立，
設(shè)ϕ(m)=

lnm

m

，ϕ′(m)=

1-lnm

m2

，令ϕ′(m)=

1-lnm

m2

=0得m=e，

m	m= e	m∈( e ，e)	m=e	x∈（e，e2）	m=e2
ϕ'（m）		+	0	-
ϕ（m）	1 2 e	↑	極大	↓	2 e2

又

1

2 e

＞

2

e2

，∴ϕ(m)min=

2

e2

，
∴t≤

2

e2

．

點評：該題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值、單調(diào)性，考查函數(shù)恒成立，考查轉(zhuǎn)化思想，恒成立問題往往化為函數(shù)最值解決．