Question

【題目】已知函數(shù)(a＞0，且a≠1)在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

Answer 1

【答案】C

【解析】當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，必須滿(mǎn)足≥0，故0＜a≤，此時(shí)函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，若f(x)在R上單調(diào)遞減，還需，即，所以．

結(jié)合函數(shù)圖象，當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)y＝|f(x)|的圖象和直線y＝2x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即當(dāng)x≥0時(shí)，方程|f(x)|＝2x只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．因此，只需當(dāng)x＜0時(shí)，方程|f(x)|＝2x恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解．

根據(jù)已知條件可得，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞0，即只需方程f(x)＝2x恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即，即在(∞，0)上恰有唯一的實(shí)數(shù)解，

判別式，

因?yàn)?/span>，所以．

當(dāng)3a2＜0，即a＜時(shí)，方程有一個(gè)正實(shí)根、一個(gè)負(fù)實(shí)根，滿(mǎn)足要求；

當(dāng)3a2＝0，即a＝時(shí)，方程的一個(gè)根為0，一個(gè)根為，滿(mǎn)足要求；

當(dāng)3a2＞0，即＜a＜時(shí)，因?yàn)?/span> (2a1)＜0，此時(shí)方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，不滿(mǎn)足要求；

當(dāng)a=時(shí)，方程有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，滿(mǎn)足要求．

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選C．