【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2 ,BC=4 ,PA=2,點(diǎn)M在PD上.
(1)求證:AB⊥PC
(2)若二面角M﹣AC﹣D的大小為45°,求 的值.
【答案】
(1)證明:如圖,設(shè)E為BC的中點(diǎn),連結(jié)AE,
則AD=EC,AD∥EC,AD∥EC,所以四邊形AECD為平行四邊形,
故AE⊥BC,又AE=BE=EC=2 ,
所以∠ABC=∠ACB=45°,故AB⊥AC,
又因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,
且PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC,故有AB⊥PC.
(2)解:如圖,以A為原點(diǎn),分別以射線AE、AD、AP為x,y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz.
則A(0,0,0),E(2 ,0,0),B(2 ,﹣2 ,0),C(2 ,2 ,0),D(0,2 ,0),P(0,0,2),
設(shè) =λ =(0,2 ,﹣2λ),(0≤λ≤1),解得M(0,2 ,2﹣2λ)
設(shè)平面AMC的一個(gè)法向量為 =(x,y,z),
則 ,
令y= ,得 ,即
又平面ACD的一個(gè)法向量為 ,
由題知 = ,
解得 .
∴ 的值為
【解析】(1)設(shè)E為BC的中點(diǎn),連結(jié)AE,推導(dǎo)出四邊形AECD為平行四邊形,AB⊥AC,AB⊥PA,由此能證明AB⊥PC.(2)以A為原點(diǎn),分別以射線AE、AD、AP為x,y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz.利用向量法能求出 的值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)若, 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,AB=BC,AD是BC邊上的高,AE是⊙O的直徑.
(1)求證:ACBC=ADAE;
(2)過點(diǎn)C作⊙O的切線交BA的延長線于點(diǎn)F,若AF=3,CF=9,求AC的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn),若 =3 ,則|QF|= , 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2﹣3x,則函數(shù)g(x)=f(x)﹣x+3的零點(diǎn)的集合為( )
A.{1,3}
B.{﹣3,﹣1,1,3}
C.{2﹣ ,1,3}
D.{﹣2﹣ ,1,3}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0)短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形,橢圓C上任意一點(diǎn)到橢圓左右兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)橢圓C與X軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A,直線過定點(diǎn)(﹣1,0)交橢圓于M,N兩點(diǎn),求△AMN面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(a>0,且a≠1)在R上單調(diào)遞減,且關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著國民生活水平的提高,利用長假旅游的人越來越多.某公司統(tǒng)計(jì)了2012到2016年五年間本公司職員每年春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù),具體統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示:
(Ⅰ)從這5年中隨機(jī)抽取兩年,求外出旅游的家庭數(shù)至少有1年多于20個(gè)的概率;
(Ⅱ)利用所給數(shù)據(jù),求出春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù)與年份之間的回歸直線方程,判斷它們之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);并根據(jù)所求出的直線方程估計(jì)該公司2019年春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù).
參考公式:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在圖中,G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有 . (填上所有正確答案的序號)
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