Question

某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學(xué)年中舉行5次統(tǒng)一測(cè)試，學(xué)生如果通過其中2次測(cè)試即可獲得足夠?qū)W分升上大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)，不用參加其余的測(cè)試，而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加5次測(cè)試．假設(shè)某學(xué)生每次通過測(cè)試的概率都是，每次測(cè)試通過與否互相獨(dú)立．規(guī)定：若前4次都沒有通過測(cè)試，則第5次不能參加測(cè)試．
（Ⅰ）求該學(xué)生考上大學(xué)的概率．
（Ⅱ）如果考上大學(xué)或參加完5次測(cè)試就結(jié)束，記該生參加測(cè)試的次數(shù)為ξ，求變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

解：（Ⅰ）記“該生考上大學(xué)”的事件為事件A，其對(duì)立事件為，則．
∴．（6分）
（Ⅱ）該生參加測(cè)試次數(shù)ξ的可能取值為2，3，4，5．
，，
． ．
由于規(guī)定：若前4次都沒有通過測(cè)試，則第5次不能參加測(cè)試，
當(dāng)ξ=5時(shí)的情況，說明前4次只通過了1次，但不必考慮第5次是否通過．
∴=．
故ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5
Eξ

==． （12分）
分析：（Ⅰ）該學(xué)生考上大學(xué)的概率等于1減去該學(xué)生考不上大學(xué)的概率．考不上大學(xué)包括：①前4次測(cè)試只通過了一次，且第五次沒有通過，②前4次都沒有通過測(cè)試．
（Ⅱ）該生參加測(cè)試次數(shù)ξ的可能取值為2，3，4，5，求出ξ取每個(gè)值的概率，即得ξ的分布列，由分布列求變量數(shù)學(xué)期望
Eξ 的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用間接解法求獨(dú)立事件的概率（1減去其對(duì)立事件的概率），以及球離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的方法．