Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-2ax+b．函數(shù)y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程是y=2x+1，
（1）求a，b的值；
（2）問：m在什么范圍取值時，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]在區(qū)間（t，3）上總存在極值？

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y=2x+1可知，f′（1）=2，f（1）=3，可解a、b的值；
（2）轉(zhuǎn)化成g′（x）=0在（t，3）上有實數(shù)根，列出等價條件，求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）因為函數(shù)y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線的斜率為2，
所以f'（1）=2，所以a=-2，則 f（1）=4+b代入切線可得b=-1，
（2）g(x)=x3+x2(

m

2

+4-

2

x

)=x3+(

m

2

+4)x2-2x，g'（x）=3x²+（m+8）x-2，
因為任意的t∈[1，2]，函數(shù)g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在區(qū)間（t，3）上總存在極值，
又g'（0）＜0，所以只需

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，
解得-

49

3

＜m＜-13．

點評：本題考查的是導數(shù)在求切線，判斷函數(shù)的單調(diào)性極值方面的應用，屬于中檔題．