Question

已知函數(shù)f（x）是定義域為（-∞，1]的增函數(shù)，
（1）若f(x-2)＜f(-

1

x

)，求x的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)a，使得f（a-sinx）≤f（a²-sin²x）對一切x∈R恒成立？若不存在，請說明理由；若存在，求出a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的定義域，轉(zhuǎn)化為具體不等式，即可求x的取值范圍；
（2）假設(shè)存在實數(shù)a，使得f（a-sinx）≤f（a²-sin²x）對一切x∈R恒成立，只需

a2-a≥(sin2x-sinx)max a2≤(1+sin2x)min

，由此結(jié)合三角函數(shù)的最值加以計算，即可確定存在實數(shù)a的值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義域為（-∞，1]的增函數(shù)，f(x-2)＜f(-

1

x

)，
∴

x-2≤1 - 1 x ≤1 x-2＜- 1 x

，∴x≤-1-------（5分）
（2）假設(shè)存在實數(shù)a，使得f（a-sinx）≤f（a²-sin²x）對一切x∈R恒成立，
則

a-sinx≤a2-sin2x a2-sin2x≤1

即

a2-a≥sin2x-sinx a2≤1+sin2x

--（8分）
只需

a2-a≥(sin2x-sinx)max a2≤(1+sin2x)min

，-------（10分）
又sin2x-sinx=(sinx-

1

2

)2-

1

4

且-1≤sinx≤1，∴（sin²x-sinx）_max=2
又（1+sin²x）_min=1，
∴

a2-a≥2 a2≤1

-------（13分）
解得a=-1，
∴存在實數(shù)a=-1，使得f（a-sinx）≤f（a²-sin²x）對一切x∈R恒成立．-----（14分）

點評：本題探索不等式恒成立的k值是否存在，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的最值的函數(shù)恒成立問題的討論等知識，屬于中檔題．