Question

如圖所示，點(diǎn)N在圓x²+y²=4上運(yùn)動，DN⊥x軸，點(diǎn)M在DN的延長線上，且

DM

=λ

DN

（λ＞0）．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程，并求當(dāng)λ為何值時(shí)M的軌跡表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
（2）當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，（1）所得曲線記為C，已知直線l：

x

2

+y=1，P是l上的動點(diǎn)，射線OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交曲線C于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|•|OP|=|OR|²，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）利用

DM

=λ

DN

，確定動點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用點(diǎn)N在圓x²+y²=4上運(yùn)動，可以得到點(diǎn)M的軌跡方程，從而可得λ為何值時(shí)M的軌跡表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），Q（x，y），根據(jù)比例性質(zhì)，條件|OQ|•|OP|=|OR|²，可得坐標(biāo)之間的關(guān)系，化簡變形即可得到點(diǎn)Q的軌跡方程．

解答：解：（1）設(shè)M（x，y），N（x₀，y₀），
由

DM

=λ

DN

得 x=x₀，y=λy₀，
∴x0=x， y0=

1

λ

y，…（2分）
把N（x₀，y₀）代入圓的方程得x2+

y2

λ2

=4，
化簡得

x2

4

+

y2

4λ2

=1．…（4分）
當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，M的軌跡表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．…（5分）
（2））當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，（1）所得曲線C為

x2

4

+y2=1．
設(shè)P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），Q（x，y）
∵P在l上、R在橢圓上，∴

x1

2

+y1=1①

x 2 2

4

+

y

2 2

=1②…（7分）
設(shè)

|OP|

|OQ|

=t，由比例性質(zhì)得 

|OP|

|OQ|

=t=

x1

x

=

y1

y

，∴x₁=tx，y₁=ty，…（8分）
代入①得

tx

2

+ty=1③…（9分）
∵|OQ|•|OP|=|OR|²，∴t=

|OP|

|OQ|

=

|OR|2

|OQ|2

=

x 2 2

x2

=

y 2 2

y2

，
∴

x

2 2

=tx2， 

y

2 2

=ty2…（10分）
代入②得

tx2

4

+ty2=1④…（11分）
由③④聯(lián)立得

tx2

4

+ty2=

tx

2

+ty，又t≠0，
∴

x2

4

+y2=

x

2

+y，原點(diǎn)除外．
化簡得點(diǎn)Q的軌跡方程為x²-2x+4y²-4y=0（原點(diǎn)除外）．…（13分）

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查代入法求軌跡方程，考查消參思想，解題的關(guān)鍵是確定動點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)．