Question

如圖所示，點N在圓x²+y²=4上運動，DN⊥x軸，點M在DN的延長線上，且（λ＞0）．
（1）求點M的軌跡方程，并求當(dāng)λ為何值時M的軌跡表示焦點在x軸上的橢圓；
（2）當(dāng)時，（1）所得曲線記為C，已知直線，P是l上的動點，射線OP（O為坐標(biāo)原點）交曲線C于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|•|OP|=|OR|²，求點Q的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用，確定動點坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用點N在圓x²+y²=4上運動，可以得到點M的軌跡方程，從而可得λ為何值時M的軌跡表示焦點在x軸上的橢圓；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），Q（x，y），根據(jù)比例性質(zhì)，條件|OQ|•|OP|=|OR|²，可得坐標(biāo)之間的關(guān)系，化簡變形即可得到點Q的軌跡方程．
解答：解：（1）設(shè)M（x，y），N（x，y），
由得 x=x，y=λy，
∴，…（2分）
把N（x，y）代入圓的方程得，
化簡得．…（4分）
當(dāng)0＜λ＜1時，M的軌跡表示焦點在x軸上的橢圓．…（5分）
（2））當(dāng)時，（1）所得曲線C為．
設(shè)P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），Q（x，y）
∵P在l上、R在橢圓上，∴①②…（7分）
設(shè)，由比例性質(zhì)得 ，∴x₁=tx，y₁=ty，…（8分）
代入①得③…（9分）
∵|OQ|•|OP|=|OR|²，∴，
∴…（10分）
代入②得④…（11分）
由③④聯(lián)立得=，又t≠0，
∴，原點除外．
化簡得點Q的軌跡方程為x²-2x+4y²-4y=0（原點除外）．…（13分）
點評：本題重點考查代入法求軌跡方程，考查消參思想，解題的關(guān)鍵是確定動點坐標(biāo)之間的關(guān)系，綜合性較強．