Question

在數(shù)列{a_n}中，a_n=

1

n

（n∈N^*）．從數(shù)列{a_n}中選出k（k≥3）項(xiàng)并按原順序組成的新數(shù)列記為{b_n}，并稱{b_n}為數(shù)列{a_n}的k項(xiàng)子列．例如數(shù)列

1

2

，

1

3

，

1

5

，

1

8

為{a_n}的一個(gè)4項(xiàng)子列．
（Ⅰ）試寫出數(shù)列{a_n}的一個(gè)3項(xiàng)子列，并使其為等差數(shù)列；
（Ⅱ）如果{b_n}為數(shù)列{a_n}的一個(gè)5項(xiàng)子列，且{b_n}為等差數(shù)列，證明：{b_n}的公差d滿足-

1

8

＜d＜0；
（Ⅲ）如果{c_n}為數(shù)列{a_n}的一個(gè)m（m≥3）項(xiàng)子列，且{c_n}為等比數(shù)列，證明：c₁+c₂+c₃+…+c_m≤2-

1

2m-1

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差關(guān)系的確定,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：新定義,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)新定義的規(guī)定，從原數(shù)列中找出符合條件的一個(gè)數(shù)列，注意本題答案不唯一；
（Ⅱ）先利用反證法推出新數(shù)列的第一項(xiàng)不等于1，再利用等差數(shù)列中項(xiàng)與項(xiàng)的關(guān)系，得到公差的取值范圍；
（Ⅲ）對于新數(shù)列，先研究其首項(xiàng)，再利用公比是有理數(shù)，對公比進(jìn)行分類研究，得到本題的結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：答案不唯一．如3項(xiàng)子列

1

2

，

1

3

，

1

6

；
（Ⅱ）證明：由題意，知1≥b₁＞b₂＞b₃＞b₄＞b₅＞0，
所以d=b₂-b₁＜0．
假設(shè)b₁=1，
由{b_n}為{a_n}的一個(gè)5項(xiàng)子列，得b2≤

1

2

，
所以d=b2-b1≤

1

2

-1=-

1

2

．
因?yàn)閎₅=b₁+4d，b₅＞0，
所以4d=b₅-b₁=b₅-1＞-1，即d＞-

1

4

．
這與d≤-

1

2

矛盾．
所以假設(shè)不成立，即b₁≠1．
所以b1≤

1

2

，
因?yàn)閎₅=b₁+4d，b₅＞0，
所以4d=b5-b1≥b5-

1

2

＞-

1

2

，即d＞-

1

8

，
綜上，得-

1

8

＜d＜0．
（Ⅲ）證明：由題意，設(shè){c_n}的公比為q，
則c1+c2+c 3+…+cm=c1(1+q+q2+…+qm-1)．
因?yàn)閧c_n}為{a_n}的一個(gè)m項(xiàng)子列，
所以q為正有理數(shù)，且q＜1，c1=

1

a

≤1 (a∈N*)．
設(shè)q=

K

L

(K，L∈N*，且K，L互質(zhì)，L≥2）．
當(dāng)K=1時(shí)，
因?yàn)?span id="ur31bcc" class="MathJye">q=

1

L

≤

1

2

，
所以c1+c2+c 3+…+cm=c1(1+q+q2+…+qm-1)≤1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)m-1=2-(

1

2

)m-1，
所以c1+c2+c 3+…+cm≤2-(

1

2

)m-1．
當(dāng)K≠1時(shí)，
因?yàn)?span id="yiuj8b6" class="MathJye">cm=c1qm-1=

1

a

×

Km-1

Lm-1

是{a_n}中的項(xiàng)，且K，L互質(zhì)，
所以a=K^m-1×M（M∈N^*），
所以c1+c2+c 3+…+cm=c1(1+q+q2+…+qm-1)=

1

M

(

1

Km-1

+

1

Km-2L

+

1

Km-3L2

+…+

1

Lm-1

)．
因?yàn)長≥2，K，M∈N^*，
所以c1+c2+c 3+…+cm≤1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)m-1=2-(

1

2

)m-1．
綜上，c1+c2+c 3+…+cm≤2-

1

2m-1

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列、以及新定義問題，要求學(xué)生能準(zhǔn)確理解題中的新定義并加以應(yīng)用，在解題中用到了列舉法、公式法、反證法和分類討論思想，有難度，屬于難題．