Question

已知函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分圖象，如圖所示．
（1）求函數(shù)解析式；
（2）若方程f（x）=m在[-

π

12

，

13π

12

]有兩個不同的實(shí)根，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)已知中函數(shù)的圖象求出函數(shù)的周期，要求出ω，進(jìn)而根據(jù)“第一點(diǎn)向左平移量”法可求出φ值，代入可得函數(shù)的解析式；
（2）分析函數(shù)在[-

π

12

，

13π

12

]圖象和性質(zhì)，進(jìn)而得到方程f（x）=m在[-

π

12

，

13π

12

]有兩個不同的實(shí)根，即函數(shù)y=f（x）和y=m的圖象在[-

π

12

，

13π

12

]有兩個不同的交點(diǎn)時，m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵

T

2

=

5π

6

-

π

3

=

π

2

，
故T=π，
又∵ω＞0，
故ω=2，
故函數(shù)圖象第一點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

π

6

，0）點(diǎn)，
即向左平移量L=

π

6

，
故φ=ω•L=

π

3

，
故f(x)=cos(2x+

π

3

)…（4分）
（2）由（1）中函數(shù)解析式可得當(dāng)x∈[-

π

12

，

π

3

]或x∈[

5π

6

，

13π

12

]時，函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)x∈[

π

3

，

5π

6

]時，函數(shù)為減函數(shù)，
又∵f（-

π

12

）=cos

π

6

=

3

2

，f（

13π

12

）=cos

5π

2

=0，
故當(dāng)m∈(-1，0)∪(

3

2

，1)時，函數(shù)y=f（x）和y=m的圖象在[-

π

12

，

13π

12

]有兩個不同的交點(diǎn)
即方程f（x）=m有兩個不同的實(shí)根，
故m的取值范圍為(-1，0)∪(

3

2

，1)…（8分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中根據(jù)已知求出函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵．