Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n滿足：S_n=

3

2

a_n+n-3．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）令c_n=log₃（a₁-1）+log₃（a₂-1）+…+log₃（a_n-1），對任意n∈N^*，是否存在正整數(shù)m，使

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

≥

m

3

都成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件，求出相應(yīng)數(shù)列的第一項，再利用前n項和與第n項的關(guān)系，求出要證數(shù)列的第n項與第n-1項的比值為為定值；
（Ⅱ）根據(jù)條件，對不等式左邊求和，再求出最值，利用恒成立的情況，得到m的取值范圍，從而求出滿足條件的值．

解答： （Ⅰ）證明：當n=1時，S1=a1=

3

2

a1-2，解得a₁=4，
當n≥2時，由Sn=

3

2

an+n-3得Sn-1=

3

2

an-1+n-4，
兩式相減，得Sn-Sn-1=

3

2

an-

3

2

an-1+1，即a_n=3a_n-1-2，
則a_n-1=3（a_n-1-1），
故數(shù)列{a_n-1}是以a₁-1=3為首項，公比為3的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知an-1=3n，cn=log3(a1-1)+log3(a2-1)+…+log3(an-1)=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
所以

1

cn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
則

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)，
由

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

≥

m

3

對任意n∈N^*都成立，得2(1-

1

n+1

)≥

m

3

，
即m≤6(1-

1

n+1

)對任意n∈N^*都成立，
∵6(1-

1

n+1

)≥6×(1-

1

2

)=3，
∴m≤3．
又∵m∈N^*，
∴m的值為1，2，3．
故對任意n∈N^*，存在正整數(shù)m=1，2，3，使

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

≥

m

3

都成立．

點評：本題考查的是數(shù)列和不等式的知識，具體有：等比數(shù)列定義，數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系，數(shù)列的求和，代數(shù)式的最值，不等式的解，本題的知識容量較大，屬于難題．