Question

【題目】給定一個數(shù)列{an}，在這個數(shù)列里，任取m(m≥3，m∈N*)項，并且不改變它們在數(shù)列{an}中的先后次序，得到的數(shù)列稱為數(shù)列{an}的一個m階子數(shù)列．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝ (n∈N*，a為常數(shù))，等差數(shù)列a2，a3，a6是數(shù)列{an}的一個3階子數(shù)列．

（1）求a的值；

（2）等差數(shù)列b1，b2，…，bm是{an}的一個m (m≥3，m∈N*) 階子數(shù)列，且b1＝ (k為常數(shù)，k∈N*，k≥2)，求證：m≤k＋1；

（3）等比數(shù)列c1，c2，…，cm是{an}的一個m (m≥3，m∈N*) 階子數(shù)列，

求證：c1＋c2＋…＋cm≤2－ ．

Answer 1

【答案】（1）a＝0（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）利用等差數(shù)列的定義及其性質(zhì)即可得出；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，再利用等差數(shù)列的通項公式及其不等式的性質(zhì)即可證明；（3）設(shè)（），等比數(shù)列的公比為，由，可得，從而（， ），再利用等比數(shù)列的前項和公式、函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

試題解析：（1）因為成等差數(shù)列，所以．

又因為， ， ，

代入得，解得．

（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，

從而，所以．

又因為，所以，即，所以

又因為，所以．

（3）設(shè)，等比數(shù)列的公比為，因為，所以，從而（， ）．

所以，

設(shè)函數(shù)，（ ， ）．

當(dāng)時，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，因為當(dāng)，

所以，所以，即．