Question

設(shè)二次函數(shù)y=f（x）過原點(diǎn)，f（-1）=-4，且滿足f（x）≤6x+2，數(shù)列{a_n}滿足a₁=

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，a_n+1=f（a_n）
（1）確定函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）證明：a_n+1＞a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=0⇒c=0，利用f（x）≤6x+2，可得對(duì)任意的x∈R恒成立，必有b＜4且△≤0，整理得b=2，即可確定函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．

解答： 解：（1）設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=0⇒c=0
令-3x²-1=6x+2，有x²+2x+1=0，x=-1，故f（-1）=-4，所以a-b=-4
所以f（x）=（b-4）x²+bx，
由f（x）≤6x+2得（b-4）x²+（b-6）x-2≤0，
對(duì)任意的x∈R恒成立，必有b＜4且△≤0，整理得b=2，
所以f（x）=-2x²+2x（6分）
（2）因?yàn)?span id="bnvb3v3" class="MathJye">an+1=f(an)=-2an2+2an，所以an+1-an=-2(an-

1

4

)2+

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（2分）
下證；an∈(0，

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2

)，n=1，顯然成立；
設(shè)n=k時(shí)，ak∈(0，

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)，則ak+1=-2ak2+2ak=-2(ak-

1

2

)2+

1

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∈(0，

1

2

)
綜上對(duì)?n∈N*，an∈(0，

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)，
所以a_n+1＞a_n（5分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．