Question

已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的前3項和S₃=9，且a₁、a₂、a₅成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式及前n項的和S_n；
（2）設(shè)T_n為數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和，證明：

1

3

≤T_n＜

1

2

；
（3）對（2）問中的T_n，若T_n≤λa_n+1對一切n∈N^*恒成立，求實數(shù)λ的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項公式及其前n項和公式即可得出；
（2）利用“裂項求和”和數(shù)列的單調(diào)性即可得出；
（3）由T_n≤λa_n+1，得λ≥

1

4n+ 1 n +4

，記f(n)=

1

4n+ 1 n +4

，可知函數(shù)f（n）在n≥1，且n∈N^*時為減函數(shù)，即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，
∵前3項和S₃=9，且a₁、a₂、a₅成等比數(shù)列．
∴3a₁+3d=9，

a

2 2

=a1a5．
化為a₁+d=3，(a1+d)2=a1(a1+4d)．
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²．
（2）由

1

anan+1

=

1

an

-

1

an+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)可得
Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)，
∴Tn＜

1

2

．
易知，Tn在n≥1且n∈N*為單調(diào)增函數(shù)，
故Tn≥T1=

1

3

，
∴

1

3

≤T_n＜

1

2

；
（3）由T_n≤λa_n+1，得λ≥

1

4n+ 1 n +4

，記f(n)=

1

4n+ 1 n +4

，
則易知函數(shù)f（n）在n≥1，且n∈N^*時為減函數(shù)，
∴f(n)max=f(1)=

1

9

，
∴λmin=

1

9

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．