Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-

1

x

，對(duì)任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、（-1，1）
• B、（1，+∞）
• C、（-∞，-1）
• D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：顯然m≠0，分當(dāng)m＞0與當(dāng)m＜0兩種情況進(jìn)行討論，并進(jìn)行變量分離即可得出答案．

解答： 解：∵f（x）=x-

1

x

，
∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
∵任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，
∴m≠0且mx-

1

mx

+mx-

m

x

＜0，
即2mx＜（m+

1

m

）•

1

x

，
∴2mx²＜m+

1

m

恒成立，
①當(dāng)m＞0時(shí)，不等式等價(jià)為2x2＜1+

1

m2

，
∵y=2x²在x∈[1，+∞）上無最大值，因此此時(shí)不合題意；
②當(dāng)m＜0時(shí)，不等式等價(jià)為2x2＞1+

1

m2

，
此時(shí)函數(shù)y=2x²在x∈[1，+∞）上的最小值為2，
∴要使不等式恒成立，則2＞1+

1

m2

，
即m²＞1，
解得m＜-1或m＞1（舍去）．
綜合可得：m＜-1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了不等式恒成立問題的基本解法及分類討論思想，利用分離變量法將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的方法是解決此類問題的基本方法．