Question

求二次函數(shù)f（x）=x²-2x+2在[t，t+1]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：二次函數(shù)f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1的對(duì)稱軸為 x=1，分①當(dāng)t＞1時(shí)、②當(dāng) t≤1≤t+

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時(shí)、③當(dāng)t+

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＜1≤t+1時(shí)、④當(dāng)t+1＜1時(shí)四種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)在[t，t+1]上的最值．

解答： 解：∵二次函數(shù)f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1的對(duì)稱軸為 x=1，
①當(dāng)t＞1時(shí)，函數(shù)在[t，t+1]上是增函數(shù)，故當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)取得最小值為t²-2t+2，
當(dāng)x=t+1時(shí)，函數(shù)取得最大值為（t+1）²-2（t+1）+2．
②當(dāng) t≤1≤t+

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時(shí)，則當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值為1，
當(dāng)x=t+1時(shí)，函數(shù)取得最大值為（t+1）²-2（t+1）+2．
③當(dāng)t+

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＜1≤t+1時(shí)，則當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值為1，
當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)取得最大值為t²-2t+2．
④當(dāng)t+1＜1時(shí)，函數(shù)在[t，t+1]上是減函數(shù)，故當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)取得最大值為t²-2t+2，
當(dāng)x=t+1時(shí)，函數(shù)取得最小值為（t+1）²-2（t+1）+2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．