Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-1|．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求不等式f（x）≥x+3a的解集；
（2）若f（x）≤|x-4|的解集包含[0，1]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對(duì)值的意義，求得不等式f（x）≥x+3a的解集．
（2）由題意可得，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，|x+a|+|x-1|≤|x-4|恒成立，等價(jià)于-3-a≤x≤3-a，根據(jù)-3-a≤0，3-a≥1，求得a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，不等式f（x）≥x+3a，即f（x）≥x+9，
當(dāng)x≤-3時(shí)，由-2x-2≥x+9，解得x≤-$\frac{11}{3}$；
當(dāng)-3＜x＜1時(shí)，由4≥x+9，解得x≤-5，故不等式無(wú)解；
當(dāng)x≥1時(shí)，由2x+2≥x+9，解得x≥7．
綜上，f（x）≥x+3a的解集為（-∞，-$\frac{11}{3}$）∪（7，+∞）． …（5分）
（2）若f（x）≤|x-4|的解集包含[0，1]，即當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，|x+a|+|x-1|≤|x-4|恒成立，
即|x+a|≤|x-4|-|x-1|恒成立，
等價(jià)于-3-a≤x≤3-a．
由題意可得，-3-a≤0，3-a≥1，求得-3≤a≤2，
故滿足條件的a的取值范圍為[-3，2]．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．