Question

17．如圖所示，正三棱錐S-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是棱SA，SB，SC上的點，且SD=a，平面DEF∥底面ABC，且三棱臺DEF-ABC與三棱錐S-ABC的所有棱長之和相等，則三棱錐S-DEF的外接球的表面積為$\frac{3π}{2}$a²．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，三棱錐S-DEF是棱長為a的正四面體，求出正四面體S-DEF外接球的半徑R，即可它的外接球表面積．

解答 解：根據(jù)題意，三棱錐S-DEF是棱長為a的正四面體，
設(shè)正四面體S-DEF的外接球球心為O，半徑為R，
且SO的延長線與底面DEF交于點P，
則SP為正四面體S-DEF的高，SP⊥底面DEF，
且SO=R，OP=r，OP是正四面體S-DEF內(nèi)切球的半徑，如圖所示：

設(shè)正四面體S-DEF的底面面積為S₀．
將球心O與四面體的4個頂點SDEF連接，
得到4個全等的小正三棱錐，球心為頂點，以正四面體面為底面，
每個小正三棱錐的體積為V₁=$\frac{1}{3}$S₀•r；
而正四面體S-DEF體積為V₂=$\frac{1}{3}$S₀•（R+r），
所以4•V₁=V₂；
即4•$\frac{1}{3}$S₀•r=$\frac{1}{3}$S₀•（R+r），
化簡得R=3r，
因為棱長為a，所以DP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a×$\frac{2}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
所以SP=$\sqrt{{a}^{2}{-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
所以R=$\frac{3}{4}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，
所以正四面體外接球的表面積為
4π•${（\frac{\sqrt{6}}{4}a）}^{2}$=$\frac{3π}{2}$a²．
故答案為：$\frac{3π}{2}$a²．

點評 本題考查了求正四面體外接球的表面積的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題與空間想象能力和計算能力的應(yīng)用問題，是綜合性題目．