設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2離心率e=
3
3
，過點F1且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為
4
3
3
．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點（0，
2
）且斜率為k的直線l與橢圓相交于A、B兩點，且△AF1F2與△BF1F2的面積之和為
3
2
2
，求k的值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）把x=-c代入橢圓方程可得y=±
b2
a
，由題意得
2b2
a
=
4
3
3
，再由c2=a2-b2，
c
a
=
3
3
聯(lián)立可求a，b；
（2）設(shè)直線AB的方程為：y=kx+
2
，代入
x2
3
+
y2
2
=1，得（2+3k2）x2+6
2
kx=0．易求xB，yB，再由△AF1F2與△BF1F2的面積之和為
3
2
2
，得
1
2
×2×
2
+
1
2
×2×(-yB)=
3
2
2
，從而可得k的方程，解出即可；
解答： 解：（1）將x=-c代入橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1，得y=±
b2
a
．
∵過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為
4
3
3
，
∴
2b2
a
=
4
3
3
，即2a=
3
b2．
又∵離心率e=
c
a
=
3
3
，a2=b2+c2，
聯(lián)立解得∴a2=3，b2=2．
∴橢圓C的方程為
x2
3
+
y2
2
=1．
（2）設(shè)直線AB的方程為：y=kx+
2
，代入
x2
3
+
y2
2
=1，得（2+3k2）x2+6
2
kx=0．
設(shè)A（0，
2
），B（xB，yB），則xB=
-6
2
k
2+3k2
，yB=kxB+
2
=
2
2
-3
2
k2
2+3k2
，
∵△AF1F2與△BF1F2的面積之和為
3
2
2
，
∴
1
2
×2×
2
+
1
2
×2×(-yB)=
3
2
2
，∴yB=-
2
2
，
∴
2
2
-3
2
k2
2+3k2
=-
2
2
，解得k=±
2
．
點評：該題考查橢圓方程、性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

圓與橢圓有很多類似的性質(zhì)，如圓的面積為πr2（r為圓的半徑），橢圓的面積為πab（a，b分別為橢圓的長、短半軸的長）．某同學(xué)研究了下面幾個問題：
（1）圓x2+y2=r2上一點（x0，y0）處的切線方程為x0x+y0y=r2，類似地，請給出橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點（x0，y0）處的切線方程（不必證明）；
（2）如圖1，TA，TB為圓x2+y2=r2的切線，A，B為切點，OT與AB交于點P，則OP•OT=r2．如圖2，TA，TB為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的切線，A，B為切點，OT與AB交于點P，請給出橢圓中的類似結(jié)論并證明．

（3）若過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上外一點M（s，t）作兩條直線與橢圓切于A，B兩點，且AB恰好過橢圓的左焦點，求證：點M在一條定直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=（1-tanx）（1+sin2x+cos2x）-3
（Ⅰ）求f（x）的定義域、值域和最小正周期；
（Ⅱ）若f（
α
2
）-f（
α
2
+
π
4
）=
6
，其中α∈（0，
π
2
），求α．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=
a2-1
x2+（a-1）x+
2
a+1
的定義域為R，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在x軸上，有一個頂點為A（-4，0），
2a2
c
=16．
（1）求橢圓C的方程：
（2）過點B（-1，0）作直線l與橢圓C交于E、F兩點，線段EF的中點為M，求直線MA的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

7名男生5名女生中選5人，分別求符合下列的選法總數(shù)．（以下問題全部用數(shù)字作答）
（1）A，B必須當(dāng)選；
（2）A，B不全當(dāng)選；
（3）選取3名男生和2名女生分別擔(dān)任班長，體育委員等5種不同的工作，但體育必須有男生來擔(dān)任，班長必須有女生來擔(dān)任．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線D的頂點是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合
（1）求拋物線D的方程；
（2）已知動直線l過點P（4，0），交拋物D于A，B兩點，坐標(biāo)原點O為PQPQ中點，求證∠AQP=∠BQP．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-CD-A1的大小為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

復(fù)數(shù)2-3i（i是虛數(shù)單位）的實部、虛部分別是
 
．

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同步練習(xí)冊答案