【題目】已知函數(shù).

(1)若上單調(diào)遞減,求的取值范圍;

(2)若處取得極值,判斷當(dāng)時(shí),存在幾條切線與直線平行,請(qǐng)說明理由;

(3)若有兩個(gè)極值點(diǎn),求證:.

【答案】();()答案見解析;()證明見解析.

【解析】

()由題意可得恒成立 ,構(gòu)造函數(shù),令,由導(dǎo)函數(shù)的解析式可知遞增,遞減, 據(jù)此計(jì)算可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

()處取得極值可得.原問題等價(jià)于求解在區(qū)間內(nèi)解的個(gè)數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)在特殊點(diǎn)處的函數(shù)值即可確定切線的條數(shù).而事實(shí)情況下檢驗(yàn)時(shí)函數(shù)不存在極值點(diǎn),所以不存在滿足題意的實(shí)數(shù),也不存在滿足題意的切線.

()若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),不妨設(shè),易知,結(jié)合函數(shù)的解析式和零點(diǎn)的性質(zhì)即可證得題中的不等式.

()由已知,恒成立

,

,

,,解得:,,解得:,

遞增,遞減,

,由恒成立可得.

即當(dāng)上單調(diào)遞減時(shí),的取值范圍是.

()處取得極值,則,可得.

,即 .

設(shè),則.

上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

注意到,

則方程內(nèi)只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,

即當(dāng)時(shí),只有一條斜率為且與函數(shù)圖像相切的直線.

但事實(shí)上,若,則,

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,

,故函數(shù)在區(qū)間上恒成立,

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,即函數(shù)不存在極值點(diǎn),

即不存在滿足題意的實(shí)數(shù),也不存在滿足題意的切線.

()若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),不妨設(shè),

()可知,且:

,

,

由①-②得:,

,

由①+②得:,

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某精準(zhǔn)扶貧幫扶單位,為幫助定點(diǎn)扶貧村真正脫貧,堅(jiān)持扶貧同扶智相結(jié)合,幫助精準(zhǔn)扶貧戶利用互聯(lián)網(wǎng)電商渠道銷售當(dāng)?shù)靥禺a(chǎn)蘋果.蘋果單果直徑不同單價(jià)不同,為了更好的銷售,現(xiàn)從該精準(zhǔn)扶貧戶種植的蘋果樹上隨機(jī)摘下了50個(gè)蘋果測(cè)量其直徑,經(jīng)統(tǒng)計(jì),其單果直徑分布在區(qū)間[50,95]內(nèi)(單位:),統(tǒng)計(jì)的莖葉圖如圖所示:

(Ⅰ)從單果直徑落在[72,80)的蘋果中隨機(jī)抽取3個(gè),求這3個(gè)蘋果單果直徑均小于76的概率;

(Ⅱ)以此莖葉圖中單果直徑出現(xiàn)的頻率代表概率.直徑位于[65,90)內(nèi)的蘋果稱為優(yōu)質(zhì)蘋果,對(duì)于該精準(zhǔn)扶貧戶的這批蘋果,某電商提出兩種收購方案:

方案:所有蘋果均以5元/千克收購;

方案:從這批蘋果中隨機(jī)抽取3個(gè)蘋果,若都是優(yōu)質(zhì)蘋果,則按6元/干克收購;若有1個(gè)非優(yōu)質(zhì)蘋果,則按5元/千克收購;若有2個(gè)非優(yōu)質(zhì)蘋果,則按4.5元/千克收購;若有3個(gè)非優(yōu)質(zhì)蘋果,則按4元/千克收購.

請(qǐng)你通過計(jì)算為該精準(zhǔn)扶貧戶推薦收益最好的方案.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)商功》中闡述:“斜解立方,得兩塹堵.斜解塹堵,其一為陽馬,一為鱉臑.陽馬居二,鱉臑居一,不易之率也.合兩鱉臑三而一,驗(yàn)之以棊,其形露矣.”若稱為“陽馬”的某幾何體的三視圖如圖所示,圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,對(duì)該幾何體有如下描述:

①四個(gè)側(cè)面都是直角三角形;

②最長的側(cè)棱長為

③四個(gè)側(cè)面中有三個(gè)側(cè)面是全等的直角三角形;

④外接球的表面積為24π.

其中正確的描述為____

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,直線交于,兩點(diǎn),的面積為.

(1)求的方程;

(2)若上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),,試問:是否存在定點(diǎn),使得?若存在,求的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在多面體中,四邊形是正方形,平面平面.

(1)求證:平面;

(2)在線段上是否存在點(diǎn),使得平面與平面所成的銳二面角的大小為,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系O中,直線與拋物線2相交于A、B兩點(diǎn).

1)求證:命題“如果直線過點(diǎn)T3,0),那么3”是真命題;

2)寫出(1)中命題的逆命題,判斷它是真命題還是假命題,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖在四棱錐中,底面為矩形,,,平面平面,為等腰直角三角形,且,為底面的中心.

(1)求異面直線所成角的余弦值;

(2)若中點(diǎn),在棱上,若,,且二面角的正弦值為,求實(shí)數(shù)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測(cè)試的原始成績采用百分制,已知所有這些學(xué)生的原始成績均分布在內(nèi),發(fā)布成績使用等級(jí)制各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)見下表,規(guī)定: 、三級(jí)為合格等級(jí), 為不合格等級(jí).

百分制

分及以上

分到

分到

分以下

等級(jí)





為了解該校高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況,從中抽取了名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),按照的分組作出頻率分布直方圖如圖所示,樣本中分?jǐn)?shù)在分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.

1)求和頻率分布直方圖中的的值;

2)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,若在該校高一學(xué)生任選,求至少有人成績是合格等級(jí)的概率;

3)在選取的樣本中,、兩個(gè)等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研,表示所抽取的名學(xué)生中為等級(jí)的學(xué)生人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列命題中的真命題是( )

A. ,則向量的夾角為鈍角

B. ,則

C. 若命題“是真命題”,則命題“是真命題”

D. 命題“”的否定是“,

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案