Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx在點(diǎn)x₀處取得極小值-4，且使其導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞0的x的取值范圍為（1，3）．求：
（1）f（x）的解析式；
（2）f（x）的極大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）導(dǎo)數(shù)f′（x）＞0的x的取值范圍（1，3）得到1和3分別為函數(shù)的極小值和極大值點(diǎn)即f′（1）=0且f′（3）=0，且有f（1）=-4，三者聯(lián)立即可求出a、b和c的值，得到f（x）的解析式，
（2）由（1）得x=3是極大值點(diǎn)，從而可得f（x）的極大值；

解答： 解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=3ax²+2bx+c，依題意有a＞0，且1，3分別為f（x）的極小值，極大值點(diǎn)，
∴f′（1）=0，f′（3）=0，f（1）=-4
∴

a+b+c=-4 3a+2b+c=0 27a+6b+c=0

，
∴

a=-1 b=6 c=-9

，
∴f（x）=-x³+6x²-9x；
（2）由（1）得x=3是極大值點(diǎn)，
∴f（x）_極大值=f（3）=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問(wèn)題，求函數(shù)的表達(dá)式，是一道基礎(chǔ)題．