【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,四個點,,,中有3個點在橢圓:上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過原點的直線與橢圓交于,兩點(,不是橢圓的頂點),點在橢圓上,且,直線與軸、軸分別交于、兩點,設(shè)直線,的斜率分別為,,證明:存在常數(shù)使得,并求出的值.
【答案】(1);(2)證明見解析,.
【解析】
(1)根據(jù)橢圓的對稱性可知,關(guān)于軸對稱的,在橢圓上.分類討論,當(dāng)在橢圓上時,當(dāng)在橢圓上時,分別求解,根據(jù)確定,即可.
(2)設(shè),,由題意可知,,設(shè)直線的方程為,與橢圓聯(lián)立,變形整理得,確定,,從而,直線的方程為,分別令、確定點與點的坐標(biāo),求直線,的斜率分別為,,求解即可.
(1)∵,關(guān)于軸對稱.
∴這2個點在橢圓上,即①
當(dāng)在橢圓上時,②
由①②解得,.
當(dāng)在橢圓上時,③
由①③解得,.
又
∴,
∴橢圓的方程為.
(2)設(shè),,則.
因為直線的斜率,又.
所以直線的斜率.
設(shè)直線的方程為,由題意知,.
由可得,
所以,.
由題意知,所以,所以直線的方程為,令,得,即,可得,
令,得,即,可得,
所以,即,因此,存在常數(shù)使得結(jié)論成立.
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【題目】己知函數(shù) .
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)有兩個零點,,求的取值范圍,并證明.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,求實數(shù)的值.
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【題目】給出下列四個說法,其中正確的是( )
A.命題“若,則”的否命題是“若,則”
B.“”是“雙曲線的離心率大于”的充要條件
C.命題“,”的否定是“,”
D.命題“在中,若,則是銳角三角形”的逆否命題是假命題
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【題目】近年來,隨著網(wǎng)絡(luò)的普及,數(shù)碼產(chǎn)品早已走進(jìn)千家萬戶的生活,為了節(jié)約資源,促進(jìn)資源循環(huán)利用,折舊產(chǎn)品回收行業(yè)得到迅猛發(fā)展,電腦使用時間越長,回收價值越低,某二手電腦交易市場對2018年回收的折舊電腦交易前使用的時間進(jìn)行了統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖,在如圖對時間使用的分組中,將使用時間落入各組的頻率視為概率.
(1)若在該市場隨機選取1個2018年成交的二手電腦,求其使用時間在上的概率;
(2)根據(jù)電腦交易市場往年的數(shù)據(jù),得到如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值,其中(單位:年)表示折舊電腦的使用時間,(單位:百元)表示相應(yīng)的折舊電腦的平均交易價格.
由散點圖判斷,可采用作為該交易市場折舊電腦平均交易價格與使用年限的回歸方程,若,,選用如下參考數(shù)據(jù),求關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測在區(qū)間(用時間組的區(qū)間中點值代表該組的值)上折舊電腦的價格.
5.5 | 8.5 | 1.9 | 301.4 | 79.75 | 385 |
附:參考公式:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,.參考數(shù)據(jù):,,,,.
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【題目】已知橢圓的兩個焦點,與短軸的一個端點構(gòu)成一個等邊三角形,且直線與圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知過橢圓的左頂點的兩條直線,分別交橢圓于,兩點,且,求證:直線過定點,并求出定點坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,隨著網(wǎng)絡(luò)的普及,數(shù)碼產(chǎn)品早已走進(jìn)千家萬戶的生活,為了節(jié)約資源,促進(jìn)資源循環(huán)利用,折舊產(chǎn)品回收行業(yè)得到迅猛發(fā)展,電腦使用時間越長,回收價值越低,某二手電腦交易市場對2018年回收的折舊電腦交易前使用的時間進(jìn)行了統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖,在如圖對時間使用的分組中,將使用時間落入各組的頻率視為概率.
(1)若在該市場隨機選取3個2018年成交的二手電腦,求至少有2個使用時間在上的概率;
(2)根據(jù)電腦交易市場往年的數(shù)據(jù),得到如圖所示的散點圖,其中(單位:年)表示折舊電腦的使用時間,(單位:百元)表示相應(yīng)的折舊電腦的平均交易價格.
(。┯缮Ⅻc圖判斷,可采用作為該交易市場折舊電腦平均交易價格與使用年限的回歸方程,若,,選用如下參考數(shù)據(jù),求關(guān)于的回歸方程.
5.5 | 8.5 | 1.9 | 301.4 | 79.75 | 385 |
(ⅱ)根據(jù)回歸方程和相關(guān)數(shù)據(jù),并用各時間組的區(qū)間中點值代表該組的值,估算該交易市場收購1000臺折舊電腦所需的費用
附:參考公式:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,.參考數(shù)據(jù):,,,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,直線與E交于A、B兩點,且,其中O為原點.
(1)求拋物線E的方程;
(2)點C坐標(biāo)為,記直線CA、CB的斜率分別為,證明: 為定值.
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