Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，四個點(diǎn)，，，中有3個點(diǎn)在橢圓：上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（，不是橢圓的頂點(diǎn)），點(diǎn)在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：存在常數(shù)使得，并求出的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的對稱性可知，關(guān)于軸對稱的，在橢圓上.分類討論，當(dāng)在橢圓上時，當(dāng)在橢圓上時，分別求解，根據(jù)確定，即可.

（2）設(shè)，，由題意可知，，設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，變形整理得，確定，，從而，直線的方程為，分別令、確定點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)，求直線，的斜率分別為，，求解即可.

（1）∵，關(guān)于軸對稱.

∴這2個點(diǎn)在橢圓上，即①

當(dāng)在橢圓上時，②

由①②解得，.

當(dāng)在橢圓上時，③

由①③解得，.

又

∴，

∴橢圓的方程為.

（2）設(shè)，，則.

因?yàn)橹本�的斜率，又.

所以直線的斜率.

設(shè)直線的方程為，由題意知，.

由可得，

所以，.

由題意知，所以，所以直線的方程為，令，得，即，可得，

令，得，即，可得，

所以，即，因此，存在常數(shù)使得結(jié)論成立.