【題目】己知函數(shù) .
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)有兩個零點,,求的取值范圍,并證明.
【答案】(1)見解析;(2)見證明
【解析】
(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x),x>0,利用分類討論思想,結(jié)合導數(shù)性質(zhì)能討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
(2)先求k的取值范圍是,再證明f(﹣2k)=ln(﹣2k)0.然后證明x1+x2≥2,即證(1)(1+t)2<﹣8lnt,即證8lnt+()(1+t)2<0,(t>0).設h(t)=8lnt+()(1+t)2,t>1.則h(t)=8lnt﹣t2﹣2t,t>1.由此能證明x1+x2>2.
(1)解:因為,函數(shù)的定義域為,
所以.
當時,,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
當時,由,得(負根舍去),
當時,,當時,,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增.
綜上所述,當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
(2)先求的取值范圍:
方法1:由(1)知,當時,在上單調(diào)遞增,不可能有兩個零點,不滿足條件.
當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以,
要使函數(shù)有兩個零點,首先,解得.
因為,且,
下面證明.
設,則.
因為,所以.
所以在上單調(diào)遞增,
所以 .
所以的取值范圍是.
方法2:由,得到.
設,則.
當時,,當時,,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
所以由 .
因為時,,且,
要使函數(shù)有兩個零點,必有.
所以的取值范圍是.
再證明:
方法1:因為,是函數(shù)的兩個零點,不妨設,令,則.
所以即.
所以,即,,.
要證,即證.
即證,即證.
因為,所以即證,
或證 .
設,.
即,.
所以.
所以在上單調(diào)遞減,
所以.
所以.
方法2:因為,是函數(shù)有兩個零點,不妨設,令,則.
所以即.
所以,即,,.
要證,需證.
即證,即證.
因為,所以即證 .
設,
則,.
所以在上單調(diào)遞減,
所以 .
所以.
方法3:因為,是函數(shù)有兩個零點,不妨設,令,則.
所以即.
要證,需證.
只需證.
即證,即證.
即證.
因為,所以,即.
所以.
而,
所以成立.
所以.
方法4:因為,是函數(shù)有兩個零點,不妨設,令,則.
由已知得即.
先證明,即證明 .
設,則.
所以在上單調(diào)遞增,所以,所證不等式成立.
所以有 .
即.
因為(),
所以,即.
所以.
方法5:要證,其中 , ,
即證.
利用函數(shù)的單調(diào)性,只需證明.
因為,所以只要證明,其中 .
構(gòu)造函數(shù),,
則.
因為
(利用均值不等式)
,
所以在
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面為梯形,底面,,,,.
(1)求證:平面平面;
(2)設為上一點,滿足,若直線與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
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【題目】已知四棱錐的底面為直角梯形,,°,底面,且,是的中點.
(1)證明:平面平面;
(2)求與所成角的余弦值;
(3)求平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;
(2)若直線與曲線交于,兩點,且,求直線的傾斜角.
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【題目】科研人員在對人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中,獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數(shù)據(jù),如下表:
(年齡/歲) | 26 | 27 | 39 | 41 | 49 | 53 | 56 | 58 | 60 | 61 |
(脂肪含量/%) | 14.5 | 17.8 | 21.2 | 25.9 | 26.3 | 29.6 | 31.4 | 33.5 | 35.2 | 34.6 |
根據(jù)上表的數(shù)據(jù)得到如下的散點圖.
(1)根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點圖:
(i)求;
(i)計算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01),并刻畫它們的相關(guān)程度.
(2)若關(guān)于的線性回歸方程為,求的值(精確到0.01),并根據(jù)回歸方程估計年齡為50歲時人體的脂肪含量.
附:參考數(shù)據(jù):img src="http://thumb.zyjl.cn/Upload/2019/08/18/08/786210e5/SYS201908180802150104289801_ST/SYS201908180802150104289801_ST.007.png" width="51" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />,,,,,,
參考公式:相關(guān)系數(shù)
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,.
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【題目】正三棱柱的底面邊長是2,側(cè)棱長是4,是的中點.是中點,是中點,是中點,
(1)計算異面直線與所成角的余弦值
(2)求證:平面
(3)求證:面面
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】自貢農(nóng)科所實地考察,研究發(fā)現(xiàn)某貧困村適合種植,兩種藥材,可以通過種植這兩種藥材脫貧.通過大量考察研究得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù):藥材的畝產(chǎn)量約為300公斤,其收購價格處于上漲趨勢,最近五年的價格如下表:
編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
單價(元/公斤) | 18 | 20 | 23 | 25 | 29 |
藥材的收購價格始終為20元/公斤,其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下:
(1)若藥材的單價(單位:元/公斤)與年份編號具有線性相關(guān)關(guān)系,請求出關(guān)于的回歸直線方程,并估計2020年藥材的單價;
(2)用上述頻率分布直方圖估計藥材的平均畝產(chǎn)量,若不考慮其他因素,試判斷2020年該村應種植藥材還是藥材?并說明理由.
參考公式:,(回歸方程中)
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【題目】英語老師要求學生從星期一到星期四每天學習3個英語單詞:每周五對一周內(nèi)所學單詞隨機抽取若干個進行檢測(一周所學的單詞每個被抽到的可能性相同)
(1)英語老師隨機抽了個單詞進行檢測,求至少有個是后兩天學習過的單詞的概率;
(2)某學生對后兩天所學過的單詞每個能默寫對的概率為,對前兩天所學過的單詞每個能默寫對的概率為,若老師從后三天所學單詞中各抽取一個進行檢測,求該學生能默寫對的單詞的個數(shù)的分布列和期望。
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【題目】在平面直角坐標系中,四個點,,,中有3個點在橢圓:上.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過原點的直線與橢圓交于,兩點(,不是橢圓的頂點),點在橢圓上,且,直線與軸、軸分別交于、兩點,設直線,的斜率分別為,,證明:存在常數(shù)使得,并求出的值.
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