Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，右頂點(diǎn)為A，直線l過F₂交橢圓于B，C兩點(diǎn)．
（1）如果直線l的方程為y=x-1，且△F₁BC為直角三角形，求橢圓方程；
（2）證明：以A為圓心，半徑為b的圓上任意一點(diǎn)到F₁，F(xiàn)₂的距離之比為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

b2+1

+

y2

b2

=1．當(dāng)B或C為直角頂點(diǎn)時(shí)，由對(duì)稱性，不妨設(shè)B為直角頂點(diǎn)，由已知條件推導(dǎo)出橢圓方程為

x2

2

+y2=1；當(dāng)F₁為直角頂點(diǎn)時(shí)，求出B（

1+k

1-k

，

2k

1-k

），C（

k-1

k+1

，

-2

k+1

），由此求出橢圓方程為

x2

3 +2

+

y2

3 +1

=1．
（2）設(shè)為P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），其中c²=a²-b²，由(

PF1

PF2

)2=

PF12

PF22

=

(x0+c)2+y02

(x0-c)2+y02

=

a+c

a-c

為定值，由此證明以A為圓心，半徑為b的圓上任意一點(diǎn)到F₁，F(xiàn)₂的距離之比為定值．

解答： （1）解：∵l：y=x-1過右焦點(diǎn)F₂，∴F₂（1，0），∴橢圓左焦點(diǎn)F₁（-1，0），
∴c=1，設(shè)橢圓方程為

x2

b2+1

+

y2

b2

=1．
①當(dāng)B或C為直角頂點(diǎn)時(shí)，由對(duì)稱性，不妨設(shè)B為直角頂點(diǎn)，
∴F₁B斜率為1，又過點(diǎn)F₁（-1，0），∴F₁B方程為y=-x-1，
聯(lián)立

y=x-1 y=-x-1

，得B（0，-1），
∵點(diǎn)B地橢圓

x2

b2+1

+

y2

b2

=1上，代入得：b=1，又c=1，
∴a²=b²+c²=2，
∴此時(shí)橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
②當(dāng)F₁為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)F₁B：y=k（x+1），
F1 C方程為y=-

1

k

(x+1)，聯(lián)立y=-x-1，解得B（

1+k

1-k

，

2k

1-k

），
同理C坐標(biāo)為（

k-1

k+1

，

-2

k+1

），
∵點(diǎn)B，C在橢圓

x2

b2+1

+

y2

b2

=1上，
∴

( 1+k 1-k )2 b2+1 + ( 2k 1-k )2 b2 =1 ( k-1 k+1 )2 b2+1 + ( -2 k+1 )2 b2 =1

，
解得b2=

3

+1，此時(shí)橢圓方程為

x2

3 +2

+

y2

3 +1

=1．
綜上，所求的橢圓方程為

x2

2

+y2=1或

x2

3 +2

+

y2

3 +1

=1．
（2）證明：∵右頂點(diǎn)A（a，0），∴A為圓心，半徑為b的圓為（x-a）²+y²=b²，
該圓上的任一點(diǎn)可設(shè)為P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），其中c²=a²-b²，
∴(

PF1

PF2

)2=

PF12

PF22

=

(x0+c)2+y02

(x0-c)2+y02

=

(x0+c)2+b2-(x0-a)2

(x0-c)2+b2-(x0-a)2

=

2x0c+2ax0

-2x0c+2ax0

=

a+c

a-c

為定值，
∴以A為圓心，半徑為b的圓上任意一點(diǎn)到F₁，F(xiàn)₂的距離之比為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查圓上一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之比為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．