Question

解下列不等式：
（1）ax²+2ax+4≤0；
（2）（a-2）x²-（4a-3）x+（4a+2）≥0．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）通過(guò)對(duì)a和△分類討論，利用一元二次不等式的解法即可解出；
（2）通過(guò)對(duì)a分類討論，利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：（1）①當(dāng)a=0時(shí)，原不等式可化為4≤0，不成立，應(yīng)舍去．
②當(dāng)a≠0時(shí)，△=4a²-16a．
當(dāng)a=4時(shí)，△=0，原不等式可化為（x+1）²≤0，解得x=-1，此時(shí)原不等式的解集為{-1}；
當(dāng)△＜0時(shí)，解得0＜a＜4．此時(shí)原不等式的解集為∅．
當(dāng)△＞0時(shí)，解得a＞4或a＜0．由ax²+2ax+4=0，解得x=

-2a±2 a2-4a

2a

=

-a± a2-4a

a

，
當(dāng)a＞4時(shí)，原不等式的解集為{x|

-a- a2-4a

a

≤x≤

-a+ a2-4a

a

}；
當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式的解集為{x|x≥

-a- a2-4a

a

或x≤

-a+ a2-4a

a

}．
綜上可得：當(dāng)a=4時(shí)，不等式的解集為{-1}；
當(dāng)△＜0時(shí)，不等式的解集為∅．
當(dāng)△＞0時(shí)，當(dāng)a＞4時(shí)，不等式的解集為{x|

-a- a2-4a

a

≤x≤

-a+ a2-4a

a

}；
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|x≥

-a- a2-4a

a

或x≤

-a+ a2-4a

a

}．
（2）①當(dāng)a=2時(shí)，原不等式化為-5x+10≥0，解得x≤2，此時(shí)不等式的解集為{x|x≤2}；
②當(dāng)a≠2時(shí)，△=25．此時(shí)不等式化為[（a-2）x-（2a+1）]（x-2）≥0，
當(dāng)a＞2時(shí)，化為(x-

2a+1

a-2

)(x-2)≥0，此時(shí)

2a+1

a-2

＞2，
因此不等式的解集為{x|x≥

2a+1

a-2

或x≤2}；
當(dāng)a＜2時(shí)，

2a+1

a-2

＜2，此時(shí)不等式化為(x-

2a+1

a-2

)(x-2)≤0，不等式的解集為{x|

2a+1

a-2

≤x≤2}．
綜上可得：①當(dāng)a=2時(shí)，不等式的解集為{x|x≤2}；
②當(dāng)a＞2時(shí)，不等式的解集為{x|x≥

2a+1

a-2

或x≤2}；
當(dāng)a＜2時(shí)，不等式的解集為{x|

2a+1

a-2

≤x≤2}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分類討論、一元二次不等式的解法，考查了計(jì)算能力，屬于難題．