Question

有如下幾個命題：
①若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形；
②函數(shù)y=sinx+

4

sinx

（0＜x＜π）最小值為4；
③等差數(shù)列{a_n}和{b_n}前n項(xiàng)和分別為S_n和T_n，且

Sn

Tn

=

2n

3n+1

，則

a5

b5

=

9

14

；
④若{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a₁＞0，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃•a₂₀₀₄＜0，則使前n項(xiàng)和S_n＞0成立的最大自然數(shù)n是4006；
其中正確命題的個數(shù)是（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,閱讀型

分析：①可運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角形的內(nèi)角和定理來判斷①；
②注意運(yùn)用基本不等式求最值，一定要檢驗(yàn)等號成立的條件，若不成立，則需采用其它方法求最值，可運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求得；
③可由

a5

b5

出發(fā)，運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)變形得

S9

T9

，再由

Sn

Tn

=

2n

3n+1

，即可判斷③；
④根據(jù)條件判斷a₂₀₀₃＞0，a₂₀₀₄＜0，公差小于0，再由等差數(shù)列的性質(zhì)得：a₁+a₄₀₀₆＞0，a₁+a₄₀₀₇=2a₂₀₀₄＜0，即S₄₀₀₆＞0，S₄₀₀₇＜0，從而可判斷④．

解答： 解：①若sin2A=sin2B，則 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=

π

2

，故△ABC為等腰三角形或直角三角形，故①不正確；
②當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，0＜sinx≤1，而函數(shù)y=sinx+

4

sinx

≥2

sinx• 4 sinx

=4，其等號成立的條件是sinx=2∉（0，1]，故它的最小值不為4，
事實(shí)上，令sinx=t（0＜t≤1），則y=t+

4

t

，導(dǎo)數(shù)y′=1-

4

t2

＜0，故（0，1]是減區(qū)間，當(dāng)t=1時(shí)，y取得最小值，且為5．故②不正確；
③由于數(shù)列{a_n}和{b_n}均為等差數(shù)列，則

a5

b5

=

2a5

2b5

=

a1+a9

b1+b9

=

9 2 (a1+a9)

9 2 (b1+b9)

=

S9

T9

，
又前n項(xiàng)和分別為S_n和T_n，且

Sn

Tn

=

2n

3n+1

，故有

S9

T9

=

2×9

3×9+1

=

9

14

．故③正確；
④由于{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a₁＞0，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃•a₂₀₀₄＜0，
所以a₂₀₀₃＞0，a₂₀₀₄＜0，公差小于0，又a₁+a₄₀₀₆=a₂+a₄₀₀₅=…=a₂₀₀₃+a₂₀₀₄，
故S₄₀₀₆=

4006

2

×（a₁+a₄₀₀₆）＞0，S₄₀₀₇=

4007

2

（a₁+a₄₀₀₇）=4007•a₂₀₀₄＜0，
即使前n項(xiàng)和S_n＞0成立的最大自然數(shù)n是4006．故④正確．
故選：C．

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查基本不等式求最值，等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，以及前n項(xiàng)和最大與S_n＞0時(shí)n的最大值的區(qū)別，同時(shí)考查解三角形的有關(guān)知識，是一道綜合題．