Question

已知f（x）為定義在（-∞，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，且f（x）＜f′（x）對(duì)于x∈R恒成立，則（　　）

• A、f（2）＞e²f（0），f（2011）＞e²⁰¹¹f（0）
• B、f（2）＜e²f（0），f（2011）＞e²⁰¹¹f（0）
• C、f（2）＞e²f（0），f（2011）＜e²⁰¹¹f（0）
• D、f（2）＜e²f（0），f（2011）＜e²⁰¹¹f（0）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

ex

，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）＜f′（x） 從而 f′（x）-f（x）＞0，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

ex

，
則g′（x）=

ex[f′(x)-f(x)]

e2x

=

f′(x)-f(x)

ex

＞0，
從而g（x）單調(diào)遞增，
則g（2）＞g（0），g（2011）＞g（0），
即

f(2)

e2

＞f（0），

f(2011)

e2011

＞f（0），
則f（2）＞e²f（0），f（2011）＞e²⁰¹¹f（0），
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．