Question

已知

m

=（bsin

x

2

，acos

x

2

），

n

=（cos

x

2

，-cos

x

2

），f（x）=

m

•

n

+a，其中a，b，x∈R．且滿足f（

π

3

）=2，f′（0）=

3

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）-log 

1

3

k=0在區(qū)間[0，π]上總有實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（I）利用數(shù)量積運算和倍角公式、導(dǎo)數(shù)的運算法則即可得出；
（II）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f（x）的值域，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）由題意知f(x)=

m

•

n

+a=bsin

x

2

cos

x

2

-acos2

x

2

+a=

a

2

(1-cosx)+

b

2

sinx，
由f(

π

3

)=2得，a+

3

b=8，（*）
∵f′(x)=

a

2

sinx+

b

2

cosx，又f′(0)=

3

，
∴b=2

3

，
代入（*）解得a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1-cosx+

3

sinx=2sin(x-

π

6

)+1，
∵x∈[0，π]，-

π

6

≤x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-1≤2sin(x-

π

6

)≤2，f（x）∈[0，3]．
又∵f(x)-log

1

3

k=0有解，即f（x）=-log₃k有解，
∴-3≤log₃k≤0，解得

1

27

≤k≤1，
∴實數(shù)k的取值范圍為[

1

27

，1]．

點評：本題考查了數(shù)量積運算和倍角公式、導(dǎo)數(shù)的運算法則、正弦函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了計算能力，屬于中檔題．