Question

如圖，已知橢圓E的中心為O，長軸的兩個端點(diǎn)為A，B，右焦點(diǎn)為F，且

AF

=7

FB

，橢圓E的右準(zhǔn)線l的方程為x=

16

3

（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若N為準(zhǔn)線l上一點(diǎn)（在x軸上方），AN與橢圓交于點(diǎn)M，且

AN

•

MF

=0，

AM

=λ

MN

，求λ．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：

分析：（Ⅰ）利用

AF

=7

FB

，求出3a=4c，利用橢圓E的右準(zhǔn)線l的方程為x=

16

3

，求出

a2

c

=

16

3

，聯(lián)立求出a，c，可得b，即可求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）由

AN

•

MF

=0，可得（x+4）（3-x）-y²=0，即y²=-x²-x+12，利用M滿足

x2

16

+

y2

7

=1，求出M的橫坐標(biāo)，根據(jù)

AM

=λ

MN

，可得

20

9

+4=λ（

16

3

-

20

9

），即可求出λ．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則
∵

AF

=7

FB

，
∴a+c=7（a-c），
∴3a=4c①，
∵橢圓E的右準(zhǔn)線l的方程為x=

16

3

，
∴

a2

c

=

16

3

②
解①②可得a=4，c=3，
∴b²=a²-c²=7，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+

y2

7

=1；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），由

AN

•

MF

=0，可得（x+4）（3-x）-y²=0，
∴y²=-x²-x+12，
∴M滿足

x2

16

+

y2

7

=1，
消去y，可得9x²+16x-80=0，
解得x=

20

9

或x=-4（舍去）
∵

AM

=λ

MN

，
∴

20

9

+4=λ（

16

3

-

20

9

），
∴λ=2．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．