Question

過點(diǎn)Q（4，1）作拋物線y²=8x的弦AB，恰被Q平分．
（1）求AB所在的直線方程．
（2）求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知條件利用點(diǎn)差法能求出AB所在的直線方程．
（2）聯(lián)立

y2=8x 4x-y-15=0

，得16x²-128x+225=0，利用橢圓弦長(zhǎng)公式能求出弦AB的長(zhǎng)．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵Q（4，1）是AB中點(diǎn)，
∴

x1+x2

2

=4，

y1+y2

2

=1，
∴x₁+x₂=8，y₁+y₂=2，
又∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在y²=8x上，
∴y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
兩式相減，得：y₂²-y₁²=2（y₂-y₁）=8（x₂-x₁）
得到

y2-y1

x2-x1

=4，
∴直線AB的斜率k=4，
∵直線經(jīng)過Q（4，1），
∴直線AB的方程為y-1=4（x-4），
整理，得AB所在的直線方程：4x-y-15=0．
（2）聯(lián)立

y2=8x 4x-y-15=0

，
消去y，并整理得16x²-128x+225=0，
x₁+x₂=

128

16

=8，x1 •x₂=

225

16

，
∴|AB|=

(1+16)(64-4× 225 16 )

=

527

2

．
∴弦AB的長(zhǎng)為

527

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，考查弦長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)關(guān)差法的合理運(yùn)用．