Question

在學(xué)習(xí)完統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)后，兩位同學(xué)對(duì)所在年級(jí)的1200名同學(xué)一次數(shù)學(xué)考試成績(jī)作抽樣調(diào)查，兩位同學(xué)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取100名學(xué)生的成績(jī)，并將所選的數(shù)學(xué)成績(jī)制成如統(tǒng)計(jì)表，設(shè)本次考試的最低期望分?jǐn)?shù)為90分，優(yōu)等生最低分130分，并且考試成績(jī)分?jǐn)?shù)在[85，90）的學(xué)生通過自身努力能達(dá)到最低期望分?jǐn)?shù)．
（Ⅰ）求出各分?jǐn)?shù)段的頻率并作出頻率分布直方圖；
（Ⅱ）用所抽學(xué)生的成績(jī)?cè)诟鱾�(gè)分?jǐn)?shù)段的頻率表示概率，請(qǐng)估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到最低期望的學(xué)生分?jǐn)?shù)和優(yōu)等生人數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)考試成績(jī)?cè)赱85，90）的學(xué)生成績(jī)?nèi)缦拢?0，81，83，84，86，89，從分?jǐn)?shù)在[85，90）的學(xué)生中抽取2人出來檢查數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況，記所抽取學(xué)生中通過自身努力達(dá)到最低期望分?jǐn)?shù)的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

分?jǐn)?shù)段	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數(shù)	9	6	12	18	21	16	12	6
頻率

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)除以100，可得各分?jǐn)?shù)段的頻率，從而可得頻率分布直方圖；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知達(dá)到最低期望的頻率為0.85，優(yōu)等生的頻率為0.18，從而可求該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到最低期望的學(xué)生分?jǐn)?shù)和優(yōu)等生人數(shù)；
（Ⅲ）ξ的可能取值為0，1，2，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）．由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）利用各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)除以100，可得各分?jǐn)?shù)段的頻率．

分?jǐn)?shù)段	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數(shù)	9	6	12	18	21	16	12	6
頻率	0.09	0.06	0.12	0.18	0.21	0.16	0.12	0.06

頻率分布直方圖，如圖所示
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知達(dá)到最低期望的頻率為0.85，優(yōu)等生的頻率為0.18，
∴最低期望的學(xué)生為1200×0.85=1020，優(yōu)等生人數(shù)為1200×0.18=216；
（Ⅲ）ξ的所有可能取值為0，1，2，則
P（ξ=0）=

C 0 2 C 2 4

C 2 6

=

2

5

，P（ξ=1）=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

8

15

，P（ξ=2）=

C 2 2 C 0 4

C 2 6

=

1

15

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

…（8分）
E（ξ）=0×

2

5

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查概率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，注意頻率分布直方圖的合理運(yùn)用．