Question

已知函數(shù)f（x）=asinx+bx的圖象在點(

π

3

，f(

π

3

))處的切線方程為x+2y-

3

+

π

3

=0．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜

π

2

時，f（x）＞（m-1）x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)f'（x）=acosx+b，由題意可得

f′( π 3 )= a 2 +b=- 1 2 f( π 3 )= 3 2 a+ π 3 b= 3 2 - π 3

，解出即可；
（Ⅱ）由（I）知f（x）=sinx-x，當(dāng)0＜x＜

π

2

時，f（x）＞（m-1）x恒成立等價于m＜

sinx

x

恒成立，記g(x)=

sinx

x

，x∈(0，

π

2

)，則問題進而化為m＜g（x）_min，利用導(dǎo)數(shù)可求得g（x）_min；

解答： 解：（I）f'（x）=acosx+b，
由于直線x+2y-

3

+

π

3

=0的斜率為-

1

2

且過點(

π

3

，

3

2

-

π

3

)，
∴

f′( π 3 )= a 2 +b=- 1 2 f( π 3 )= 3 2 a+ π 3 b= 3 2 - π 3

，
解得a=1，b=-1；
（Ⅱ）由（I）知f（x）=sinx-x，
當(dāng)0＜x＜

π

2

時，f（x）＞（m-1）x恒成立等價于m＜

sinx

x

恒成立，
記g(x)=

sinx

x

，x∈(0，

π

2

)，則g′(x)=

xcosx-sinx

x2

，
記h（x）=xcosx-sinx，則h'（x）=-xsinx＜0，
∴h（x）在區(qū)間(0，

π

2

)上單調(diào)遞減，h（x）＜h（0）=0，
故g'（x）＜0，∴g（x）在區(qū)間(0，

π

2

)上單調(diào)遞減，g(x)＞g(

π

2

)=

2

π

，
∴m≤

2

π

，
實數(shù)m的取值范圍為(-∞，

2

π

]．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．